高数第七章

第七章第一节微分方程的基本概念*纲要：1，微分：常微分，偏微分。2，微分方程的概念：凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫微分方程，简称方程。3，微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。4，通解不一定是所有解，但是无穷解。5，微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同6，特定条件下，特解,，确定了通解的任意常数后，就得到微分方程的特解。7，微分方程的解得图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。*题目1，一曲线通过点（1,2），且在曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求曲线的方程。解:设所求方程为y=f(x),根据导数的几何意义：dxdy=2x得dy=2xdx,两端求导：y=∫2xdx即y=x2+C（C为任意常数）；有当“x=1,y=2”代入上式得C=1所以y=x2+12，验证：函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程22dtxd+k2x=0的解，解;求所给的函数的导数dtdx=-kC1sinkt+kC2coskt22dtxd=-k2C1coskt-k2C2sinkt=-k2（C1coskt+C2sinkt）把22dtxd及x的表达式代入方程，得-k2（C1coskt+C2sinkt）+k2（C1coskt+C2sinkt）≡0所以函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程22dtxd+k2x=0的解。例3:求当k≠0时x=C1coskt+C2sinkt是微分方程22dtxd+k2x=0的通解，就满足初始条件x|0t=A,dtdx|0t=0的特解。解：当“t=0时，x=A”代入x=C1coskt+C2sinkt得C1=A。将“t=0时，dtdx=0”代入dtdx=-kC1sinkt+kC2coskt得C2=0所以特解为x=Acoskt.编纂：李帅印成威第二节可分离变量的微分方程定义：形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。[1]求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：dy/g(y)=f(x)dx;（2）等式两端求积分，得通解：∫dy/g(y)=∫f(x)dx+C.[2]例如：一阶微分方程dx/dy=F(x)G(y)第二步dy/(G(y)dx)=F(x)第三步∫（dy/G(y)）=∫F(x)dx+C得通解。题目1求微分方程dy/dx=2xyd通解解:Dy/y=2xdx∫𝐝𝐲𝐲=∫𝟐𝐱𝐝𝐱ln|y|=x2+C1y=±ex2=C1=±eC1ex2因为±eC1是常数，又因为y=0也是方程的解所以方程的通解是Y=Cex2(孙曦明,朱鹏程)第三节齐次方程本节重要知识点和考点分析：齐次方程解题的关键是利用变量代换或换元将原方程化为可分离变量的微分方程来求解。本节考研要求：会解齐次微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。知识结构：定义：如果一阶微分方程可化为型，那么就称这方程为齐次方程。【例】解方程.解：原方程可写为xygdxdydxdyxydxdyxy221222xyxyxxyydxdy因此是齐次方程.令，则，于是原方程变为，即，分离变量，得：.两端积分，得：，或写为.以代换上式中的，得到方程的通解为：(赵明申,赵宝泽)第四节一阶线性微分方程概要：形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。（这里所谓的一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。）当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性方程。（这里所谓的齐次，指的是方程的每一项关于y、y'、y的次数相等。因为y'和P(x)y都是一次的，所以为齐次。）当Q(x)≠0时，称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性方程。（由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各uxydxduxudxdyuxy,12uudxduxu1uudxduxxdxduu11xCuulnlnCuxulnxyuCxyyln阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。）1什么样的方程是一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指形如（1）的方程。Q（x）=0称为齐次线性微分方程，即Q（x）≠0称为非齐次一阶线性微分方程注意：在前面的分离变量中齐次是关于变量x、y的，即：把方程中的x、y分别换为kx、ky后方程不变.这里的齐次是指把y/、y分别换为ky/、ky后方程不变.2常数变易法(1)先求齐次方程（2）的通解(2)变量分离：求不定积分：即：齐次线性微分方程（2）的通解为：(2)非齐次线性微分方程（1）的通解我们的基本想法是：将齐次线性微分方程（2）的通解中的常数理解为函数C(x),看看当C(x)取某种形式时，是否有可能成为(1)的通解.注意到代入非齐次线性微分方程（1）：即：（3）积分得：故非齐次线性微分方程（1）的通解为：（4）用（4）式直接解题当然是可以的，但时间长了就模糊了，常常是先求齐次方程的解（变量分离），然后利用第（3）式求C（x）,这样只要记住第（3）式就行了！请大家特别注意下面例子是怎样利用第（3）式的，记住它对解题有很大帮助！例题解先求对应的齐次微分方程的通解常数变易法，设（*）代入原方程（注意（3）式的利用），有：代入（*）式得通解3可化为线性方程的非线性微分方程方法很多，最重要的是研究题目的特点，同时掌握一些基本的题型.例题1解方程解：方程变形为已化为线性微分方程，可按前面的例题一样分两步来求解，这里我们直接套公式，(衡陆文,夏春杭)第五节可降阶的高阶微分方程一．型的微分方程（1）方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程.二．型的微分方程（2）方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末而方程就成为.这是一个关于变量x,p的一阶微分方程。设其通解为。但是，因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程（2）的通解为。三．型的微分方程(3)方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y’=p，并利用复合函数的求导法则把化为对y的导数，即.这样，方程（3）就成为。这是一个关于变量y,p的一阶微分方程。设它的通解为，分离变量并积分，便得方程（3）的通解为。题目：求微分方程满足初始条件，的特解。解所给方程是型的。设y’=p，代入方程并分离变量后，有.两端积分，得,即(),由条件，得,所以.两端再积分，得又由条件，得,于是所求的特解为.型的微分方程（1）方程右端只含x，容易看出，只要把作为新的未知函数，那未（1）式就是新的未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个n-1阶的微分方程.同理可得.型的微分方程（2）方程右端不显含未知函数y，如果我们设，那末而方程就成为.这是一个关于变量x,p的一阶微分方程。设其通解为。但是，因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程（2）的通解为型的微分方程(3)方程中不明显地含自变量x。为了求出它的解，我们令y’=p，并利用复合函数的求导法则把化为对y的导数，即.这样，方程（3）就成为。这是一个关于变量y,p的一阶微分方程。设它的通解为，分离变量并积分，便得方程（3）的通解为。。求微分方程满足初始条件的特解。()122xyxyyyxx0013,解：设，将之代入方程，得分离变量有两边积分，得由条件，得从而再积分，得又由条件，得故所求特解为注记：求高阶方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，而不要待求出通解之后再逐一确定，这样处理会使运算大大简化。——————吴晨，蒋勇yp()122xdpdxxpdppxxdx21212ln)1ln(lncxp)1(21xcyp30xy31c)1(32xy233cxxy10xy12cyxx331第六节高阶线性微分方程（强梦妮，陆毓昕）对于二阶齐次线性方程'''0yPxyQxy(6)定理1:如果函数1yx与2yx是方程(6)的两个解,那么1122yCyxCyx(7)也是(6)的解,其中1C,2C是任意常数.线性相关：设1yx,2yx,…,nyx为定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数,使得当xI时有恒等式1122...0nnkykyky成立,那么称这个函数在区间上线性相关,否则称线性无关。由上述概念可知，对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，若为常数，线性相关，否则线性无关。定理2：如果1yx与2yx是方程(6)的两个线性无关的特解，那么1122yCyxCyx(1C、2C是任意常数)就是方程(6)的通解。定理2可以推广到n阶微分方程的通解。定理3：设*()yx是二阶非齐次线性方程'''()()()yPxyQxyfx(5)的一个特解。()Yx是与(5)对应的齐次方程(6)的通解，那么*()()yYxyx是二阶非齐次线性微分方程(5)的通解。推广至n阶：*1122()()...()()nnyCyxCyxCyxyx叠加原理：设非齐次线性方程(5)的右端()fx是两个函数之和，即'''12()()()()yPxyQxyfxfx而*1()yx与*2()yx分别是方程12''()'()()''()'()()yPxyQxyfxyPxyQxyfx的特解，那么**12()()yxyx就是原方程的特解。可推广至n阶。例：验证：2512112xxxyCeCee(1C、2C是任意常数)是方程5''3'2xyyye的通解。解：5''3'2xyyye对应齐次方程为''3'20yyy令1xye，22xye，*5112xye112222*5*5','''2,''4525',''1212xxxxxxyeyeyeyeyeye因为111222222''3'2320''3'24620xxxxxxyyyeeeyyyeee12xyey不恒为常数(线性无关)所以1122yCyCy为对应线性齐次微分方程的通解因为***555525152''3'2121212xxxxyyyeeee所以*y为原方程的一个特解所以2512112xxxyCeCee是方程的通解。第七节常系数齐次线性微分方程(夏朦娜,汤明玉)求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下：y’’+py’+qy=0（1）第一步写出微分方程（1）的特征方程r^2+pr+q=0(2)第二步求出特征方程（2）的两个根r1,r2第三步根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：特征方程r^2+pr+q=0的两个根r1,r2微分方程y’’+py’+qy=0的通解两个不相等的实根r1,r2y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)两个相等的实根r1=r2y=(C1+C2x)e^(r1x)一对共轭复根r1,2=α±iβy=e^(αx)(C1cosβx+C2sinβx)根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的通解如下：特征方程的根微分方程通解中的对应项单实根r给出一项：Ce^(rx)一对单复根r1,2=α±iβ给出两项：e^(αx)(C1cosβx+C2sinβxk重实根r给出k项：e^(rx)(C1+C2x+…+Ckx^(k-1))一对k重复根r1,2=α±iβ给出2k项：e^(αx)[(C1+C2x+…Ckx^(k-1))cosβx+(D1+D2x+…+Dkx^(k-1))sinβx]典例：(1)求微分方程y''-2y'-3y=0的通解。解：所给微分方程德尔特征方程为r^2-2r-3=0r1=-1,r2=3因为为两个不相等的实根，所以所求通解为y=C1e^-x+C2e^3x(4)求微分方程满足所给初始条件的特解4y''+4y'+y