高数第八章

第八章第一节向量及其线性运算重点：1.方向角与方向余弦2.向量在轴上的投影典型题目：例7.已知两点M1(2，2，2)和M2（1.，3，0），计算向量21MM的模、方向余弦和方向角。解：21MM=（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2），|21MM|=2222)(-(1)(-1)=2211;COSα=-21,COSβ=21,COSγ=-22;α=π32,β=3π,γ=43π.例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求.POMOAOArjOM方向上的投影在解：记∠MOA=θ，有COSθ=31||||OMOA，θθ于是OArjOMP=|3aθ||COSOA．θ马云赵振第二节数量积向量积混合积1.两向量的数量积a·b=│a││b│cosθθ为两向量间的角度（1）a·a=│a│2（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率结合律如下时才成立(Λa)·b=Λ（a·b）2.向量积a·b=│a││b│sinθ（1）b×a=-a×ba×b=0的充分必要条件是a平行于b（2）满足分配率结合律如下时才成立（3）(Λa)×b=a×（Λb）=Λ（a×b）用三阶行列式表示ijka×b=│axayaz│bxbybz例题1.已知三角形ABC的顶点分别是A（1,2,3）,B（3,4,5）,C（2,4,7），求三角形的面积解：SABC=1∕2│c││b│sinA=1∕2│c×b│ijkc×b=│222│=4i-6j+2k124SABC=1∕2│4i-6j+2k│=2222)6(4=142.a=3i-j-2k，b=i+2j-k，求3.（-2a）·（3b）4.a、b夹角的余弦解：（1）（-2a）·（3b）=-6（a·b）=18二、cosa,b=a·b/│a│·│b│=3/221张浩康赵奇第三节曲面及其方程要点：1.几种常见二次曲面的标准方程：球面2202020Rzzyyxx椭球面1222222czbyax单叶双曲面1222222czbyax双叶双曲面1222222czbyax椭圆抛物面zbyax2222双曲抛物面（马鞍面）zbyax22222.空间曲面方程1）一般方程0,,zyxF；2）显式方程yxFz,；3）参数方程vuxx,平面上某区域为，其中uvDDvuvuyy,,vuzz,3.设平面上的曲线，则为yOzzyfC0,:1）;0,22zyxfzC轴旋转所得的曲面为绕2）.0,y22zxyfC轴旋转所得的曲面为绕旋转曲面由母线和旋转轴确定。求旋转曲面方程时，平面曲线绕某坐标轴旋转，则该坐标轴对应的变量不变，而曲线方程中另一变量改写成该变量与第三变量平方和的正负平方根。4.柱面方程1）；，轴的柱面方程为母线平行于0yxzF2）；，轴的柱面方程为母线平行于0yxxG3)；，轴的柱面方程为母线平行于0yxyH当曲面方程中缺少一个变量时，则曲面为柱面，柱面方程须注意准线与母线两个要素。练习题：已知椭球面S1是椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点（4,0）且与椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1相切的直线绕x轴旋转而成。1.求S1及S2的方程；2.求S1与S2之间的立体的体积。答案：解：1.S1的方程为错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1,过点（4,0）与错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1的切线为y=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。x-2).切点为（1，错误!未找到引用源。）.所以S2的方程为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.2.记y1=错误!未找到引用源。x-2,则y2=错误!未找到引用源。,V=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。x=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。闫润秋陆成杰第四节空间曲线及其方程（高等数学下册p32-p37）一、空间曲线的一般方程空间曲线可看做两个曲面的交线。设有两个曲面的的方程F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0它们的交线为C。因曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组F(x,y,z)=0（1）G(x,y,z)=0反之，如M点不在曲线C上，则M点的坐标不满足方程组（1）。因此，曲线C可用方程组（1）表示例题：方程组221xy表示怎样的曲线？2x+3y+3z=6解：221xy表示母线平行于z轴的圆柱面，准线是xoy面上的圆，圆心为原点，半径为1.2x+3y+3z=6表示平面，因此方程组表示平面与圆柱面的交线，交线为椭圆二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程也可用参数形式表示，只要将C上动点的坐标x,y,z表示为参数t的函数：x=x(t)y=(t)z=(t)随着t的变动可得曲线C的全部点。例题：将一般曲线方程2229xyz化为参数方程y=x解：将y=x代入2229xyz得2229xz，变换得2222133()2xz由椭圆的参数方程，得3cos2x3cos2y（02）3sinz即为已知曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为F（x,y,z）=0（1）G（x,y,z）=0方程组（1）消去变量z后所得方程H（x，y）=0（2）、则当x，y，z满足方程组（1）时，x，y必满足方程（2）.即曲线C在方程（2）所表示的曲面上。而方程（2）表示母线平行于z轴的柱面（该柱面包含曲线C）以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫空间曲线C关于xoy面的投影柱面投影柱面与xoy面的交线叫做空间曲线C在xoy面上的投影曲线，简称投影则方程（2）所表示的曲面包含投影柱面，方程H（x，y）=0Z=0表示的曲线必包含空间曲线C在xoy面上的投影例题：求曲线C222zxy在各坐标面上的投影Z=1解：（1），在xoy面上将方程组消去z得221xyZ=1所以在xoy面上的投影为221xyZ=0（2），在yoz面上222zxy中z=1是母线平行于x轴的柱面Z=1所以':yozyozccz=1x=0所以在yoz面上的投影为线段z=1|y|≤1x=0（3），同理在zox面上投影也为线段z=1|x|≤1y=0第三组：万程蔡苏超第五节平面及其方程概要：一、平面的点法式方程：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫该平面的法线向量。平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直。平面上一点M0（x0，y0，z0）和它的一个法线向量n=（A，B，C），设M（x,y,z）是平面上任一点，向量M0M必与平面法线向量n垂直，即n·M0M=0二、平面的一般方程：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，任取满足方程的一组数x0，y0，z0即Ax0+By0+Cz0+D=0,把上述两式相减得A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0三、两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角设两平面的法线向量依次为n1=（A1，B1，C1）和n2=（A2，B2，C2）cos=222222222111212121CBACBACCBBAA3.求平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角。解：cos=222222112)1(121)1(2121=21因此，所求夹角3。4.一平面通过两点1M（）和2M（）Q且垂直于平面x+z+y=0,求它的方程。解：设所求平面的一个法向量为n=(A,B,C)(1)因为)20,1(MM在所求平面上，他比与n垂直，所以有-A-2C=0(2)又因所求的平面垂直于已知平面xyz，所以有A+B+C=0由（1）（2）得到A=-2CB=C由平面的点式法方程可知，所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0.将A=-2C及B=C代入上式并约去C（c0）便得2x-y-z=0------------------------------魏晨斌，邢浩坤第八章第六节空间直线及其方程1知识要点一、直线方程1.一般方程（交面式方程）0022221111DzCyBxADzCyBx{A2.对称式方程（点向式方程）pzznyymxx000其中000,,zyxP为直线上给定的已知点，pnms,,为直线的方向向量。3.参数式方程ptzzntyymtxx000其中000,,zyxP为直线上的定点，pnms,,为直线的方向向量。4.两点式方程是直线上两个定点。其中，22221111121121121,,,,,zyxPzyxPzzzzyyyyxxxx二、直线与直线、直线与平面间的关系1、直线与直线的位置关系设直线和直线的方程分别为：当两条直线相交时，设两条直线的夹角为，而方向向量的夹角为，则或2、直线与平面的位置关系设直线L的方程为：平面的方程为：2222:222yyxxzzLmnp1111:111yyxxzzLmnp1111212222////pmnLLSSmnp12121212120LLssmmnnpp12ss、12LL、000yyxxzzmnp0AxByCzD//0LsnmAnBpC当直线和平面相交时，直线与它在平面上的投影线之间的夹角称为直线与平面的夹角。设直线的方向向量与平面法向量的夹角为，则：2例题例1、求过点（-3.2.5）且与两平面的交线平行的直线方程。解：设所求直线的方向向量为因为所求直线与两平面的交线平行，所以垂直于两平面的法向量。所求直线为：即：例2、求通过点M（1.2.-2）且通过直线//pmnLsnABCLL（0）2Lsnsincos222222snmAnBpCsnmnpABC243251xyxyz和235431yxz235431yxz22131xzLy：1210443215ijksnnijks的平面方程。解：由直线的方程可知：直线上一点平面的法向量垂直及直线L的方向向量.所求的平面方程为即：陈正鹏、胡华东2012年5月5日1210443215ijksnnijkL0M（2.-1.2）0MM01341310311ijknMMSijk1x+13y-2+10z+2=0131050xyz