高数计算题答案

二．计算题（每小题7分，共70分）1。设zyxxzyu的全微分du解：两边取对数zxyzxyulnlnlnln-----（1），再对（1）两边取全微分：dzzxzdxydzdyyzxdydxxyduulnlnln1.lnlnlndzzxydyyzxdxzxy所以，.lnlnlndzzxydyyzxdxzxyudu2．计算由方程yzzxln确定的函数yxzz,的全微分。解：原方程化为yzzzxlnln2----（1）（1）式两边全微分，得：ydzdyyzdzzdxlnln12，整理，得：dyyzyzdxyzdzdyyzdxdzyzlnln1lnln122lnln1)1(dz.222212122yzxyxzzdyzxyzdxzxz3．设yxzz,，由方程0,,xzzyyxF确定，且F为可微函数，求dz。解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：.0/3/2/1xzdzydyxdFFF即：01112/32/22/1dzxdxzdzydyzdyxdxyxFzFyF，整理，得：dyxzdxzydzxyFyFFxFFFz/12/2/32/1/3/22111，故：.1111/3/22/12/2/3/22/32/1dyxyxzdxxyzydzFFzFyFFFzFxF4．设函数2,sin,222xxxyyxfz，其中f具有二阶连续偏导数，求.;22yzxz解：（一）xxyxfxzfffx2cos2.2/3/2/12（二）xyzffxsin/2/12，所以xxxzffffxysinsinsin//22//21//12//112225。求曲线..0,6:222zyxzyx在点1,2,1的切线。解：方程组两边关于x求导，得：..01,0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx，----（1）将点1,2,1代入（1），得：..01,0242||||1111xxxxdxdzdxdydxdzdxdy解之，有：.1,0||11xxdxdzdxdy所以，切线向量为：1,0,1s故曲线在点1,2,1的切线为：.110211zyx6．计算,422dIDyx其中D是xyx222。解：.932384cos20222rdrdIr7．计算dxdyIyxye110解：交换积分次序，.21211211_1||1010101010001022xxdxdxdxxdxxxdyxdxIexeeeexxxxyxy三．试证明：点2,3是函数yxyxyxf2246,的极值点。（10分）解：.246,,426,2/2/yxyxyxyxxfyfyx因为,02,32,3//ffyx所以点2,3是函数yxyxyxf2246,的驻点。26,,2426,,42,2////2//xffyfxyxyxyxyyxyyxyxx。记0144,182,3,02,3,082,32//////ACBABfffyyxyxx所以，点2,3是函数yxyxyxf2246,的极大值点。四．设是由曲面yxz224和yxz22所围成的区域，试分别写出dvzyxfI,,在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下的三次积分（14分）解：分数评卷人分数评卷人向xoy平面上的投影区域为，:D222yx。（一）在直角坐标系下.,,,,22224222222dzxxyxyxzyxfdydxdvzyxfI（二）在柱坐标下.,sin,cos,,202042dzrzrrfrdrddvzyxfIr（三）在球坐标下.cos,sinsin,cossinsin,,2043202dfdddvzyxfI五。选作题（每题10分，共40分）1．在曲面842232:222yzxzxyzyx上求点的坐标使此点处的切平面平行于yoz坐标面。解：设所求之点为zyxM0000,,记842232,,222yzxzxyzyxFzyx，则曲面在zyxM0000,,处的切平面的法向量为yxzzxyzyxMFMFMFzyxn0000000000/0/0/426,424,222,,因为0,0,1//n，所以，有：Mzyzxyxzyxyxzzxy0000000202020000000.0842232.0426,0424，解之，.0,2,4000zyx因此，所求之点0,2,40M。2．设dvzyxfI,,，其中f为连续函数，是由曲面Rzyx22224和0422222RRRzyx所围成的区域，将I化为柱坐标及球坐标下的三次积分。解：联立.4,4222222222RRzyxRzyx消去z，得向xoy平面上的投影区域为，:D.3222Ryx。（一）在柱坐标下.,sin,cos,,20304422222dzrRrRzrrfrdrddvzyxfIRR（二）在球坐标下dfdddvzyxfIR2030202cos,sinsin,cossinsin,,.cos,sinsin,cossinsin2023cos402dfddR3．求dzxyxyxdydxIz22222102210解：如图所示。宜采用球坐标计算之。.75122sin220402022cosdddI4．已知某一物体由,2,222zzyx及8z所围成且每一点处的面密度函数为yx22，试求该物体的质量。解：记：.82222zzyx由三重积分的物理意义，知：dxdydzmyx22。宜才采用直角坐标系下的“切片法”。设:Dzzyx222为过点82,0,0zz处的截面。8220202228222zrdrddxdyDdzdxdydzmryxyxz.336322|823822zzdz5．试证明.0,0,,0,0,0,,,22yxyxxyyxfyx在原点处连续且偏导数存在，但在原点处不可微。证明：（一）因为0,00|||||||,|022yxyyxyxfyx，所以，0,00,lim00fyxfyx，故函数yxf,在原点处连续。（二）因为,000lim0,00,0lim00xxfxfxx所以，;00,0/fx类似地，.00,0/fy故函数yxf,在原点处可偏导。（三）下面考察yxzffyx0,00,0lim//0，即考察yxyxyxffyxyxfyxfxyxyx2222022//00.lim0,00,00,00,0limyxyxyx2200.lim。我们说，yxyxyx2200.lim不存在，故yxf,在原点处不可微。