高三数学(理科)导数及其应用(试题版)

高三数学(理科)：导数及其应用知识要点梳理知识点一：导数的相关概念1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为。知识点二：导数的运算1、几种常见函数的导数公式：①；②(a∈Q)；③；④；⑤⑥⑦⑧2、导数的四则运算法则：①；②；③知识点三：导数的应用1、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.2、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x)在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数；(3)在定义域内解不等式；(4)确定f(x)的单调区间。3、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＜f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)＞f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。注意：①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。(最好通过列表法)4、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系：①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。规律方法指导①函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。②函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。③函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。④在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。⑤利用导数可以判定函数的单调性，从而也可以利用导数证明某些不等式。利用导数证明某些不等式的基本步骤：依据题意构造函数、判定函数的单调性、利用单调性证明要证明的不等式。【典例精析】1.导数定义的应用例1如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，011limxfxfx_________．例２已知函数xecbxxxf2,其中Rcb,，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若,142cb且4lim0xcxfx，试证：26b．2.利用导数研究函数的图像例3设a＜b,函数2()()yxaxb的图像可能是例4若函数()yfx的导函数．．．在区间[,]ab上是增函数，则函数()yfx在区间[,]ab上的图象可能是2BCAyx1O34561234A．B．C．D．3.利用导数解决函数的单调性问题例5已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．【变式1】（2004年全国高考）若函数11213123xaaxxxf在区间4,1上是减函数，在区间,6上是增函数，求实数a的取值范围．【变式2】(2005年湖南高考)已知函数0221ln2axaxxxf存在单调递减区间，求a的取值范围；【变式3】（2009浙江高考）已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb(,)abR．若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例6若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或7ababaoxoxybaoxyoxyby【变式】设P为曲线C：223yxx上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为04，，则点P横坐标的取值范围为（）A．112，B．10，C．01，D．112，5.利用导数求函数的极值与最值例7已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR（1）当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。例8已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围．6.利用导数解决实际问题例9用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【真题检测】1、已知函数12231)(23xxaxxf且21,xx是)(xf的两个极值点，31021xx，（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若22||221bmmxx，对]1,1[b恒成立。求实数m的取值范围2、已知a是实数，函数2()()fxxxa．（Ⅰ）若'(1)3f，求a的值及曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求()fx在区间2,0上的最大值．3、已知函数.23)32ln()(2xxxf（I）求f(x)在[0，1]上的极值；（II）若对任意0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；（III）若关于x的方程bxxf2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．4、已知函数2()ln()fxxaxx，（Ⅰ）当1a时，求()fx的极值；（Ⅱ）若()fx存在单调递减区间，求a的取值范围．5、设).442(31)(2aaxxexfx（Ⅰ）求a的值，使)(xf的极小值为0；（Ⅱ）证明：当且仅当a=3时，)(xf的极大值为4．6、（2010年福建高考理）（Ⅰ）已知函数3(x)=x-xf，其图象记为曲线C。（i）求函数(x)f的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线C与其在点111P(x,f(x))处的切线交于另一点222P(x,f(x))，曲线C与其在点222P(x,f(x))处的切线交于另一点333P(x,f(x))，线段11223122PP,PP,S,SCS与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数32g(x)=ax+bx+cx+d(a0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。