高三数学专题复习圆锥曲线(双曲线)

1高三数学专题复习——圆锥曲线（双曲线）【知识网络】1．掌握双曲线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．2了解双曲线简单应用．3．进一步体会数形结合思想．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【典型例题】[例1]（1）双曲线的两条准线间的距离等于半焦距，则其离心率为（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．２Ｄ．３（2）已知方程11222kykx的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）Ａ．K＜１Ｂ．K＞２Ｃ．K＜１或k＞２Ｄ．１＜k＜２（3）已知双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．43B．53C．２D．73（4）若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于．（5）经过点)38,10(M，渐近线方程为xy31的双曲线的方程为．[例2]在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设|BC|=m，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC－sinB|=12sinA时，求顶点的轨迹方程．已知双曲线C:12222byax(0,0)ab，B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上，且满足OAOBOF||、||、||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．（1）求证：FPPAOPPA；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．2[例4]已知动点P与双曲线x2－y2=1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－31。（1）求动点P的轨迹方程;（2）设M（0,－1），若斜率为k(k≠0)的直线与P的轨迹交于不同的两点A、B，试求k的取值范围，使|MA|=|MB|；（3）若直线l:y=x+m与P的轨迹交于不同的两点A、B，且3AB，M（0，－1），求M到直线l的距离。.【课内练习】1．点P是以F1，F2为焦点的双曲线221259xy上的一点，且|PF1|=12，则|PF2|=（）A．2B．22C．2或22D．4或222．双曲线12222byax的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（）A.3B.2C.3D.23．已知F1（－3，0），F2（3，0），且|PF1|－|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支4．设F1、F2是双曲线ax42－ay2=1(a＞0)的两焦点，点P在双曲线上,∠F1PF2=90°，若Rt△F1PF2的面积为1，那么a的值是（）A、25B、1C、2D、55．已知双曲线12222byax的离心率e=332，过点A（a，0），B（0，－b）的直线到原点的距离是23，那么ab=.36．若直线ｙ=kx+1与曲线x=12y有两个不同的交点，则k的取值范围是．7．双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形，则该双曲线的离心率为．8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１）焦距为16，准线方程为29y；（２）虚轴长为12，离心率为45；（３）顶点间的距离为6，渐近线方程为xy23．9．求与圆A：（x＋5)2＋y2=49和圆B：（x－5)2＋y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程．10．已知A（－7，0），B（7，0），C（2，－12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹．双曲线A组1．双曲线1322yx的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（）Ａ．060Ｂ．090Ｃ．0120Ｄ．01502．如果221||21xykk表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距C的取值范围是（）A．(1,＋∞)B．（0，2）C．(2,＋∞)D．（1，2）3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x－2y=0，则该双曲线的离心率为（）A．52或5B．32或3C．52或55D．54或544．过点（－7，－62）与（27，－3）的双曲线标准方程为．．5．已知F1，F2是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0)的左、右两个焦点，点P在双曲线右支上，O为坐标原点，若△POF2是面积为1的正三角形，则b的值是．6．已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2=1（a0,b0）的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在第一象限交双曲线于点P，若∠PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程为．7．已知三点P（5，2），F1（－6，0），F2（6，0）（1）求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆方程；（2）设点P，F1，F2关于y=x的对称点分别为P′，F1′，F2′，求以F1′，F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．8．已知双曲线M：x2－y2=1，直线l与双曲线C的实轴不垂直，且依次交直线y=x、双曲线C、直线y=－x于A、B、C、D4个点，O为原点．（1）若|AB|=|BC|=|CD|，求证：三角形AOD的面积为定值；（2）若三角形BOC的面积等于三角形AOD面积的1/3，求证：|AB|=|BC|=|CD|．．B组1．方程x2m+y24－m=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是（）A．m＜0B．0＜m＜4C．m＞4D．m＜452．双曲线12222byax和椭圆12222bymx（a0,mb0)的离心率互为倒数，那么（）A．a2+b2=m2B．a2+b2m2C．a2+b2m2D．a+b=m3．过双曲线12222byax的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为（）A．3B．2C．2D．54．双曲线两条渐近线的夹角等于90°，则它的离心率为．5．一个焦点为Ａ（０，５），相应的准线为５y－１６＝０且离心率为45的双曲线的方程是．6．已知双曲线焦点在x轴上，且过点A（1，0），B（－1，0），P是双曲线上异于A，B的任一点，如果△APB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程．7．已知双曲线方程是222yx=1．（1）过定点P（2，1）作直线交双曲线于P1，P2，使P（2，1）为P1P2的中点，求此直线方程；（2）过定点Q（1，1）能否作直线l，使l与双曲线相交于两点Q1，Q2，且Q是Q1Q2的中点？8．设点P到点F1（－1，0）、F2（1，0）距离之差为k，且到x轴y轴距离之比为2，求k的取值范围．双曲线6【典型例题】例1（1）A．提示：联想双曲线的准线方程．（2）C．提示：x2,y2的分母异号．（3）B．提示：依据|PF2|的取值范围，及双曲线定义．（4）60°．提示：将a，c关系转化成a，b间的关系．（5）143622yx．提示：由渐近线求双曲线可以用待定系数法．例2.以BC所在直线为轴，线段BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－m2,0),C(m2,0)、设点坐标为(x,y)．由题设：|sinC－sinB|=12sinA根据正弦定理，得：12cba即|AB－AC|=12m可知A在以B、C为焦点的双曲线上．这里2a=12m,a=m4又c=m2,故b2=2316m故所求顶点的轨迹方程为：2222161613xymm（y≠0)．例3、（1）法一．:()alyxcb，(),,ayxcbbyxa解得2(,).aabPcc|OA→|,|OB→|,|OF→|成等比数列，PA→=（0，－abc）FOPDExyAlB22222222(,),(,),,..aabbabOPFPccccababPAOPPAFPccPAOPPAFP7法二：同上得2(,).aabPcc0.PAxPAOPPAFPPAOFPAOPPAFP轴．．（2）222222(),,ayxcbbxayab422222244422222222422221242244222222)2()0,()0,.,.22abxxcabbaaacbxcxabbbbacabbxxabbbabacaaee（）．即（即．即．例4、(1)设P的轨迹方程为122222ayax（a2）cos∠F1PF2最小值为31412)22(2222aaaaa，a2=3∴P点轨迹方程为2213xy（2）设A（x,y）,B(x2,y2)21212)1(yxMA21222)1(yxMB∵||MBMA∴|MA|2=|MB|2∴x21+(y1+1)2=x22+(y2+1)2∴(x1+x2)(x1－x2)+(y1+y2+2)(y1－y2)=0∴kxxyy1212∴(x1+x2)+k(y1+y2+2)=0(A)13113122222121yxyx8两式相减得0))(())((3121212221yyyyxxxx∴0)()(312121yykxx代入（A）k(－2y1－2y2+2)=0∵k≠0∴y1+y2=1∴x1+x1=－3k设直线方程为l:y=kx+b13:22yxbkxyl1)(322bkxx(3k2+1)x2+6bkx+3b2－3=0x1+x2=kkbk313622b=3k2+1△=(6bk)2－4(3k2+1)(3b2－3)0∴3k2+1b2∴3k2+1(2132b)2k21∴k∈（－1，1）（3）13:22yxmxyl1)(322mxx4x2+6mx+3m2－3=0设A（x1,y1）,B(x2,y2)∴)1(432322121mxxmxx|x1－x2|=3432m|AB|=33432||12212mxxk∴m=±2m=2时，2:xylM到l距离d1=122m=－2时，2:xylM到距离d2=－122【课内练习】1．C．提示：用双曲线的定义．2．B．提示：将距离用基本量表示．3．C．提示：注意双曲线定义中到两定点距离之差的绝对值小于两定点间的距离．4．B．提示：用双曲线的定义．5．3．提示：基本量法．6．-2＜k＜-1．提示：数形结合，注意曲线仅仅是双曲线位于x轴上方的部分．97．3＋1．提示：数形结合．8．（１）由准线方程为29y，可知双曲线的焦点y在轴上设所求双曲线的方程为)0,0(12222babxay由题意，得162c292ca解得6a8c所以283664222acb因此，所求双曲线的方程为1283622xy．（２）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为2222byax=1122b由题意，得45ac解得8a10c∴3664100222acb所以焦点在x轴上的双曲线的方程为1366422yx．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为1366422xy．因此，所要求的双曲线的方程为1366422yx和1366422xy．（3）方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为2222byax=1122a由题意，得23ab解得3a29b10所以焦点在x轴上的双曲线的方程为1481922yx．同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为14922xy．因此，所要求的双曲线的方程为1481922yx和14922xy．方法二：设以xy23为渐近线的双曲线的方程为)0(9422yx当＞０时，642，解得，＝49．此时，所要求的双曲线的方程为1481922yx．当＜０时，692，解得，＝－１．此时，所要求的双曲线的方程为14922xy．因此，所要求的双曲线的方程为1481922yx和14922xy．9．221916xy（x＞0)提示：用双曲线定义．10．设椭圆的另一焦点F（x,y)，由题意得|AC|＋|AF|=|BC|＋|BF|，∴|AF|－|BF|=|BC|－|AC|．