高三数学二轮复习3-25数形结合思想同步练习理人教版

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1高考专题训练二十五数形结合思想班级_______姓名_______时间:45分钟分值:75分总得分_______一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.1.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716解析:设P到l1的距离为d1,P到l2的距离为d2,由抛物线的定义知d2=|PF|,F(1,0)为抛物线焦点,所以d1+d2=d1+|PF|.过F作FH⊥l1于H,设F到l1的距离为d3,则d1+|PF|≥d3.当且仅当H,P,F三点共线时,d1+d2最小,由点到直线距离公式易得d3=105=2.答案:A2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)解析:如图所示,根据直线与渐近线斜率的大小关系:ba=c2-a2a=e2-1≥3,从而e≥2.2答案:C3.已知OB→=(2,0),OC→=(2,2),CA→=(2cosα,2sinα),则向量OA→与OB→的夹角的取值范围为()A.[0,π4]B.[π4,512π]C.[512π,π2]D.[π12,512π]解析:如图,在以O为原点的平面直角坐标系中,B(2,0),C(2,2),A点轨迹是以2为半径的圆C,OD,OE为⊙C的切线,易得∠COB=π4,∠COD=∠COE=π6,当A点位于D点时,OA→与OB→的夹角最小为π12,当A点位于E点时,OA→与OB→的夹角最大为512π,即夹角的取值范围为[π12,512π].答案:D4.函数y=3cos2x+π3-π6≤x≤π3与y=3cos2x-73π76π≤x≤53π的图象和两直线y=±3所围成的封闭区域的面积为()A.8πB.6πC.4πD.以上都不对3解析:∵函数y=3cos(2x-73π)=3cos2x-43π+π3.∴y=3cos(2x-73π)的图象是将函数y=3cos2x+π3的图象向右平移43π个单位得到的.由画图可知,所围成的区域的面积为43π×6=8π.答案:A5.设定义域为R的函数f(x)=1|x-2|x,1x=.若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有3个不同的实数解x1,x2,x3,且x1x2x3,则下列说法中错误的是()A.x21+x22+x23=14B.1+a+b=0C.x1+x3=4D.x1+x32x2解析:作出f(x)的图象,图象关于x=2对称,且x=2时,f(x)=1,故f(x)=1有3个不同实数根x,除此之外,只有两个根或无根.又f2(x)+af(x)+b=0有3个不同的实数解x1x2x3,x2=2,而x1+x3=2x2=4.又f(x)=1,1|x-2|=1,x1=1,x3=3,故A,B,C正确.答案:D6.若函数f(x)=logax-x+a(a0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围为()A.0a1B.a1C.a0且a≠1D.1a2解析:设函数y=logax(a0且a≠1)和函数y=x-a,则函数f(x)=logax-x+a有两个零点,就是函数y=logax(a0且a≠1)与函数y=x-a有两个交点,由图象可知当0a1时,两函数只有一个交点,不符合;当a1时,函数y=logax图象过点(1,0),而直线y=x-a与x轴交点(a,0)在点(1,0)右侧,所以一定有两个交点,故a1.答案:B二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交4D.所有的圆不经过原点其中真命题的代号是________.(写出所有真命题的代号)解析:假设圆经过原点,则有(0-k+1)2+(0-3k)2=2k4,即2k4-10k2=-2k+1,而上式左边为偶数,右边为奇数,故矛盾,所以D正确.而所有圆的圆心轨迹为x=k-1,y=3k,即y=3x+3.此直线与所有圆都相交,故B正确.由于圆的半径在变化,故A,C不正确.答案:BD8.当0≤x≤1时,不等式sinπ2x≥kx,则实数k的取值范围是________.解析:在同一坐标系下,作出y1=sinπ2x与y2=kx的图象,要使不等式sinπ2x≥kπ成立,由图可知需k≤1.答案:k≤19.函数f(x)=13x3+ax2-bx在[-1,2]上是单调减函数,则a+b的最小值为________.解析:∵y=f(x)在区间[-1,2]上是单调减函数,∴f′(x)=x2+2ax-b≤0在区间[-1,2]上恒成立.结合二次函数的图象可知f′(-1)≤0且f′(2)≤0,即1-2a-b≤0,4+4a-b≤0也即2a+b-1≥0,4a-b+4≤0.作出不等式组表示的平面区域如图:5当直线z=a+b经过交点P(-12,2)时,z=a+b取得最小值,且zmin=-12+2=32.∴z=a+b取得最小值32.答案:32点评:由f′(x)≤0在[-1,2]上恒成立,结合二次函数图象转化为关于a,b的二元一次不等式组,再借助线性规划问题,采用图解法求a+b的最小值.10.用计算机产生随机二元数组成区域-1x1,-2y2.对每个二元数组(x,y),用计算机计算x2+y2的值,记“(x,y)”满足x2+y21为事件A,则事件A发生的概率为________.解析:本题为几何概型问题,应转化为图形的面积比求解.如图,画出不等式组-1x1,-2y2及(x,y)满足x2+y21的平面区域.∴P(A)=π8.答案:π86三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间,求k的取值范围.解:令f(x)=x2+2kx+3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解,由y=f(x)的图象(如图)可知,要使两根都在-1,3之间,只需f(-1)0,f(3)0,f-b2a=f(-k)0,-1-k3同时成立,解得-1k0,故k∈(-1,0).12.(13分)(四川)设椭圆x2a2+y2b2=1,(ab0)的左右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,右准线为l,M、N是l上的两个动点,F1M→·F2N→=0.(1)若|F1M→|=|F2N→|=25,求a、b的值;(2)求证:当|MN|取最小值时,F1M→+F2N→与F1F2→共线.解:由a2-b2=c2与e=ca=22,得a2=2b2.F1(-22a,0),F222a,0,l的方程为x=2a.设M(2a,y1),N(2a,y2)7则F1M→=322a,y1,F2N→=22a,y2由F1M→·F2N→=0得y1y2=-32a20①(1)由|F1M→|=|F2N→|=25,得322a2+y21=25②22a2+y22=25③由①②③三式,消去y1,y2,并求得a2=4故a=2,b=22=2.(2)证明:|MN|2=(y1-y2)2=y21+y22-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=6a2.当且仅当y1=-y2=62a或y2=-y1=6a时,|MN|取最小值6a.此时,F1M→+F2N→=322a,y1+22a,y2=(22a,y1+y2)=(22a,0)=2F1F2→.故F1M→+F2N→与F1F2→共线.

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