高三数学对称问题

07-03对称问题点一点——明确目标理解中心对称与轴对称的意义，会用坐标来表示对称现象，并依此解决简单的对称问题.做一做——热身适应1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为.解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．答案：（b，a）2.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________.解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.答案：3x－y+3=03.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________.解析：数形结合.答案：π－θ4.（2004年浙江，理4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是A.y2=8－4xB.y2=4x－8C.y2=16－4xD.y2=4x－16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4－x），即y2=16－4x.答案：C5.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是A.m5=npB.p=－5C.m=－n且p=－5D.m1=－n1且p=－5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较，∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.答案：C理一理——疑难要点1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）.2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有00xxyy·k=－1，20yy=k·20xx+b，特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0.（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′的坐标满足00xxyy·k=－1，20yy=k·20xx+b，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.拨一拨——思路方法【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x+y－4=0，3x+4y－1=0，方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－43.则)2()43(1)2(43=)43(1)43(kk.解：由解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上.可求出x′、y′.从中解出x0、y0，解得k=－112.代入点斜式得直线b的方程为y－（－2）=－112（x－3），即2x+11y+16=0.方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），3×220x+4×200y－1=0，2000xy=34，解得B（54，－58）.由两点式得直线b的方程为)58(2)2(y=5433x，即2x+11y+16=0.方法三：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有3×20xx+4×20yy－1=0，00xxyy=34.解得x0=256247yx，y0=258724yx.Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，则2×256247yx+258724yx－4=0，化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法四：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有5|143|yx=5|1)24(43|00xx，00)24(xxxy=34.消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与方法二，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形由结合能力才能较好地完成此题.【例2】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，∴kBA2=3246=－2.故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x+y－2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例3】已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.lOxyPQMMM12解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，27）.x+2y－7=0，x－2y+2=0，故点P（25，49）、Q（0，27）即为所求.评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.深化拓展恰当地利用平面几何的知识解题.不妨再试试这个小题：已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.答案：41（517，0）【例4】直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.解法一：设直线l的方程为y－1=k（x－1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1－y2）=x1－x2.解方程组得交点P（25，49）.∵kAB=2121xxyy=－k1，∴y1+y2=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k（x－1）上，∴x1+x2=1－k2.∴y12+y22=x1+x2=1－k2.由y12+y222)(221yy，得1－k222kkkkk2)22)(2(20－2k0.解法二：设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），222121yyyy=－k1221yy－1=k（22221yy－1）y1+y2=－k，y1y2=22k+k1－21，∴y1、y2是方程y2+ky+22k+k1－21=0的两根.由Δ=k2－4（22k+k1－21）0kkkk)22)(2(20－2k0.练一练——巩固提高1.两直线y=33x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是____________.解析：l上的点为到两直线y=33x与x=1距离相等的点的集合，即2)3(1|3|yx=｜x－1｜，化简得x+3y－2=0或3x－3y－2=0.答案：x+3y－2=0或3x－3y－2=02.直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.解析：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：2x－y－4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：（5，6）3.（2004年全国卷Ⅱ，4）已知圆C与圆（x－1）2+y2=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为则A.（x+1）2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+（y+1）2=1D.x2+（y－1）2=1解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x），即得x2+（y+1）2=1.答案：C4.与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为A.2x－y－5=0B.x+2y－3=0C.x+2y+3=0D.2x－y－1=0解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C.答案：C5.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有1422xy×（－1）=－1，212x+242y+1=0.x2=3，y2=0，即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得202y=131x，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.6.求函数y=92x+4182xx的最小值.解：因为y=22)30()0(x+22)50()4(x，所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和.y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A′（0，－3），则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，即22)35()04(=45.所以ymin=45.7.若抛物线y=2x2上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称且x1x2=－21，求m的值.解：设直线AB的方程为y=－x+b，代入y=2x2得2x2+x－b=0，∴x1+x2=－21，x1x2=2b=－21.解得∴b=1，即AB的方程为y=－x+1.设AB的中点为M（x0，y0），则x0=221xx=－41，代入y0=－x0+1，得y0=45.又M（－41