高三数学恒成立问题的一般解法

高三数学复习中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。1.一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）0)(0mfa或ⅱ）0)(0nfa亦可合并定成0)(0)(nfmf同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有0)(0)(nfmfnmoxynmoxy例1。对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范围。在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。分析：不等式整理为(x-1)p+x2-2x+10设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有解：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.2.二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有00a若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2。设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。题目中要证明f(x)≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题分析：例2。设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+∞)时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当△=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+∞)，F(x)≥0恒成立；ⅱ）当△=4（a-1)(a+2)≥0时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af,1030)2)(1(aaaa-1oxy得-3≤a≤-2;综合可得a的取值范围为[-3，1]分类讨论即例3.关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解分析：解法1（利用韦达定理）设3x=t,则t0,由方程有解则方程t2+(4+a)t+4=0有正根。040)4(02121xxaxx4016)4(2aa480aaa或解得a≤-8.解法2（利用根与系数的分布知识）：4oxy例3.关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。由t2+(4+a)t+4=0有正根设f(x)=t2+(4+a)t+4.1.△=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8.a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-20，不合题意；a=-8时，f(x)=(t-2)2=0,得t=20,符合题意∴a=-8.2.△0,即a-8或a0时，∵f(0)=40,故只需对称轴，即a-4.024a∴a-8综合可得a≤-8.3.变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解例4已知当x∈R时，不等式a+cos2x5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。54a要使上式恒成立，只需45a-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+53即a+245a45a上式等价于或2)2(4504502aaaa04502aa解得a8.54注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例5、若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立，∴sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+)+cos(x-α)即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)2sinx·cosα=-2sinx·sinαsinx(sinα+cosα)=0对一切x∈R恒成立，只需也必须sinα+cosα=0。∴α=k.（k∈Z)45、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例6、当x∈(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，xyo12y1=(x-1)2y2=logax要使对一切x∈(1,2),y1y2恒成立，显然a1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21,a1,∴1a≤2.小结1.一次函数型2.二次函数型3.变量分离型4.根据函数的奇偶性、周期性等性质5、直接根据图象判断