高三数学教案第四节函数的连续性及极限的

第四节函数的连续性及极限的应用1.函数在一点连续的定义:如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0limxxf(x)存在，且0limxxf(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0limxxf(x)存在；(3)0limxxf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(xgxf(g(x)≠0)也在点x0处连续。②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)，f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有axlimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有bxlimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值奎屯王新敞新疆7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”二、问题讨论●点击双基1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A2.f（x）=xxπcosπcos的不连续点为A.x=0B.x=122k（k=0,±1,±2,…）C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）D.x=0和x=122k（k=0,±1,±2,…）解析：由cosxπ=0,得xπ=kπ+2π（k∈Z）,∴x=)(122Zkk.又x=0也不是连续点,故选D答案：D3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是xyOx0xyOx0xyOx0xyOx0①②③④A.①B.②③C.①④D.③④答案：A4.四个函数:①f（x）=x1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）答案：②③④例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性)0(1)0(11)()1(11xxeexfxx，点x=0；)1(4)1(2)()2(2xxxxxf，点x=－1。解：（1）当x→0－时，x1，0lim10xxe，因此0limx1111xxee=－1，而0limx1111xxee=0limx)121(1xe=1，∵)(lim)(lim00xfxfxx，∴)(xf在x=0处极限不存在，因此)(xf在x=0处不连续。（2）∵3)2(lim)(lim211xxfxx，)(lim1xfx3)4(lim1xx，3)1(f，∴)1(3)(lim1fxfx，因此函数)(xf在x=－1处连续。【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。2.(2081)(1),00,3Px例优化例1(x0)讨论函数f(x)=0(x=0)在点处的连续性-1(x0)x(2)讨论函数f(x)=在区间上的连续性x-3剖析：（1）需判断0limxf（x）=0limxf（x）=f（0）.（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）∵0limxf（x）=－1,0limxf（x）=1,0limxf（x）≠0limxf（x）,∴0limxf（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.（2）∵f（x）在x=3处无定义,∴f（x）在x=3处不连续.∴f（x）在区间［0,3］上不连续.练习：讨论函数24)(2xxxf的连续性；适当定义某点的函数值，使)(xf在区间(－3,3)内连续。解：显然函数的定义域为),2()2,(，当2x时，2)(xxf，∴)(xf在)2,(上连续，在),2(上连续。而)(xf在2x处不连续。又∵4)2(lim24lim222xxxxx，不妨设4)2(f，于是)2(4)2(24)(2xxxxxf此时，)(xf在区间(－3,3)内连续。3.(2082)Paxx例优化例e(x0)设函数f(x)=(x0)当a为何值时,函数f(x)是连续的解:0limxf（x）=0limx（a+x）=a,0limxf（x）=0limxex=1,而f（0）=a,故当a=1时,0limxf（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a0)个单位后,向左转900,前进ar(0r1)个单位,再向左转900,以前进ar2个单位,…….,如此连续下去(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2)若其中的r为变量,且0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条直线上?备用：例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：01523xx是否存在实数根。解：设152)(3xxxf，则)(xf在R上连续，又038)3(,1)0(ff，因此在[－3，0]内必存在点x0使得0)(0xf，所以x0是方程01523xx的一个实数根，xyO因此方程01523xx有实根。【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数)(xfy的图象是否与x轴有交点。五、小结1．函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。六、课后作业：