高三数学新增教材专题――

高三数学新增教材专题――.txt吃吧吃吧不是罪，再胖的人也有权利去增肥！苗条背后其实是憔悴，爱你的人不会在乎你的腰围！尝尝阔别已久美食的滋味，就算撑死也是一种美！减肥最可怕的不是饥饿，而是你明明不饿但总觉得非得吃点什么才踏实。本文由bohvici贡献doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。高三数学新增教材专题――向量平面向量是这次(教材改革新增加的内容之一．按新大纲的教学目标和要求，主要内容有向量的概念与性质，向量的四种基本运算．向量的简单应用．其中的重点是向量的运算与简单应用分析近年的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算．由于新教材是首次增加这部分内容，而且大纲要求重在基础，加之教学中师生还有一个逐步适应的过程．所以预计单独考查平面向量的题目应属基本运算之类，将会以填空题或选择属的形式出现1个题目．对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为将来学习解析几何的基本工具，在相关内容中也可能会进行考查．本章的另一部分是解斜三角形，它是从初中教材中遂步分离并划归到高中教材中的一部分内穿．从知识体系上看，应属于三角函数一章，从研究方法上看，应属于向量应用的一个方面．近几年的全国高考试题逐渐加大了对这部分三角内容的考查力度，主要是在三角形中考查正弦定理、余弦定理与三角恒等变形等知识的综合应用．由于向量沟通着初中数学的有关知识，与高中数学中的函数、三角、解析几何、立几几何的知识密切相关，较之导数、概率统计知识更为活跃、更为重要。一、向量正成为支撑高中数学学科的重点知识《2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科数学。新课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体，注重学科的内在联系，不刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，考查达到必要的深度。”2000－2003年全国高考贤良向量的分布年号2000年2001年题号418520102002年18214182003年21所占分值5125125121251212重点考查的知识点平面向量的模、垂直的判断，数量积空间向量与立几，空间向量的模、数量积，垂直等平面向量的基本定理空间向量与立几，空间向量的坐标，夹角，数量积等。平面向量与解几，动点的轨迹方程的求解空间向量与立几，空间向量的坐标，夹角，数量积等平面向量与解几，三角的交汇，动点的交汇向量的数量积平面向量与解几，平几的交汇，共线向量的充要条件，数量积空间向量与立几，空间向量的坐标，夹角，数量积等平面向量与解几，动点的轨迹方程的求解，椭圆的概念与性质2004年（I）卷2004年（II）卷2004年（III）卷721921200051251212向量与解几向量与解几向量与解几、向量基础知识向量与解几向量与立几02004年（iv）1420412向量数量积向量与解几向量在2005年高考中解答题的地位一览表类型全国I全国II全国III北京卷福建卷广东卷湖北卷湖南卷江苏卷辽宁卷山东卷上海卷天津卷浙江卷重庆卷江西卷立几＋向量立几＋向量立几＋向量向量＋解几向量＋三角立几＋向量向量＋解几立几＋向量向量＋数列＋函数向量＋解几向量＋函数立几＋向量立几＋向量立几＋向量解几＋向量立几＋向量立几＋向量立几＋向量向量＋解几三角＋向量第一题第二题立几＋向量立几＋向量第三题第四题第五题向量＋解几向量＋解几第六题由于新课程的新增加的内容大都是近年来现代数学的重要基础，对于学生对于数学学科的学习兴趣、增强学生的数学应用意识，都具有十分重要而深远的意义，并且它们必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而他成为保持较高的比例，构成数学试题的组提的终于只是啊板块，在向量的在新高考试卷中频频出现，引起大家的注意和关注，对改革传统高中数学教育学都产生意义深远的影响和积极的作用。向量的特有的“神”（坐标形式）形（几何形式）兼备这一特征，时向量及其平行、垂直的充要条件都有其坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的数量积不仅是一个数值，而且与向量的夹角及其余弦值密切联系，使得它必然成为沟通数学个主要分支（解析几何、立体几何、三角知识、数列等知识），嫁接数学知识之间横向联系的重要桥梁和纽带，决定了作为新课程卷新增内容的向量必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，①近年来向量的所占的比例大约在30分左右，约占全卷的20％，②向量作为现代数学的重要基础进入高中数学知识体系后，不仅确定立即成为支撑数学学科的重要知识，也是学习和研究许多重要数学问题的通性通法的强有力的工具，③“注重通性通法，淡化特殊技巧”是近几年高空新命题的重要理念之一，向量是高中数学的重要工具之一，向量作为工具不仅在处理三角、不等式、解几、立几问题时显得简捷、明快，而且在中学其它学科也有广泛的应用，向量的概念与运算包含着丰富的数学语言，常见形式主要有三种：一是自然语言，二是符号语言，三是图形语言，这三种语言本质上是等价的，但不同的语义给人不同的信息，因此灵活、准确地进行语义转换是正确、快速地用向量解题的保证。二、向量概念教学中的几个似是而非的问题注意向量中一些不合常理的性质：如①向量不是有向线段，但却用有向线段表示；（向量有大小方向，但与起点无关，有向线段有大小、方向、和起点组成）②向量有大小却不可以进行大小比较；（向量是一个有大小的量，它可以用数来表示它的大小（模），但它却不可以进行大小比较，同时向量在一个特殊的情况下可以比较大小，即同向又模相等的情况下，存在a=b）③零向量方向是任意的，但可平行却不可垂直；（零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但却不可以与任何向量垂直，因此ab=0a⊥b是错误的，必须加上a,b都是非零向量。④向量运算满足交换律、分配律，但满足结合律、消去律。a(bc)=(ab)c,ab=aca=c（都是错误的）⑤向量有坐标，但坐标却与向量无关；（向量（3，2）并不意味着向量过点（3，2））常见的错误有⑥aa=a,，但ab≠ab≠|a||b|，常见的错误有(ab)2=ab，正确的式子是：正确的式子是：(ab)2≤ab,|a+b|≤|a|+|b|却要画辅助线。⑦OAOB=BA,但是OA+OB却要画辅助线。⑧a∥bx1y2x2y1=0，但a∥b不等价于a=λb（必须b≠0）⑨直线方向向量的夹角不一定是直线的夹角。直线方向向量的夹角不一定是直线的夹角。三、向量解题中的通性常法平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份和内涵，在高中数学中起着桥梁和工具的作用，涉及的主要问题有线段定比分点，平移问题，三角问题、平面几何，解析几何等。平面向量在高考中处于解决问题的辅助地位，在解题中具有独特的功能．常作为工具与数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何等专题结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、角度、垂直等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．由于向量有其独特的形式和内涵，因此解题方法也多种多样，各领风骚，主要的有以下几种：1.巧用“回路”在平面封闭图形中，根据首尾相接的向量和为零向量，构造出一个向量等式，再根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则进行化简求解。【例】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF=222221（AB+DC）.2【分析】根据求证的内容，将EF转化为向量AB、DC的和、差形式表示，充分运用如、减法的运算法则完成.DECFAB【证明】如图，在四边形CDEF中，EF+FC+CD+DE=0.在四边形ABFE中，EF+FB+BA+AE=0.①+②得（EF+EF）+（FC+FB）+（CD+BA）+（DE+AE）=0.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴FC+FB=0，DE+AE＝0.∴2EF=－CD－BA=AB+DC.因此EF=1（AB+DC）.2【评析】在四边形CDEF和在四边形ABFE中写出向量的“回路”形式是破题的关键。“回路”是向量解题的一个特点，看似简单，但其应用广泛。2.数形结合由于向量具有代数和几何的双重特征，因此充分挖掘问题的几何背景，数形结合往往是化解问题难点的制胜法宝。【例】(2003年高考新课程题)设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|),λ∈[0,+∞),则P点的轨迹通过△ABC的（）(D)△ABC的垂心.（A）外心，（B）内心【分析】注意(C)重心AB,AN是单位向量，利用向量加法的三角形法则作图求解。|AB||AN|【解】记AM=AB|AB|,AN=AN|AN|,则AM、AN都是单位向量，设AQ=AM+AN，∵|AM|=|AN|，∴AMPN是菱形，∴AQ平分∠BAC,∵OP=OA+AP,，而由条件知OP=OA+λAQ,∴AP=λAQ,(λ∈[0,+∞)),∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心.∴应选B。【评析】如果设AM=AB|AB|,AN=AN|AN|,则AM、AN都是单位向量，这是构造单位向量的一条捷径.【例】点P为直线L上一点，A为L外一点，e为L上的单位向量，点A1为点A关于直线L的对称点，若用e和PA表示PA1，则PA1=.ALPeBA1【分析】注意到对称与垂直、中点的内在联系，并结合向量中射影的知识。【解】如图，作AB⊥L于B，则PB=(PAe)e,AB=PBPA,所以PA1=PB+BA1=PB+AB=2PBPA=2(PAe)ePA.【评析】本题解法构思精巧，别出心裁，特别是PB=(PAe)e是向量数量积几何性质的巧妙应用。【例】设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋（y＋2）j，b＝xi＋（y－2）j且|a|＋|b|＝8。求点M（x，y）的轨迹方程；【解】因为a＝xi＋（y＋2）j，b＝xi＋（y－2）j且|a|＋|b|＝8。所以点M（x，y）到两定点F1（0，－2）F2（0，2）的距离之和为8。，所以轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为x2y2+=1。121622【评析】如果仅仅从代数的角度出发，将|a|＋|b|＝8转化为x+(y+2)+x2+(y2)2=8，则会遭遇“计算之痛”，而数形结合则巧妙求解，一气呵成。3．“模”取平方模是向量的一个特性，许多问题都与此相关，向量的模形式上是距离和根式，它的解题方法以两边平方为佳。|x|=|y||x|2=|y|2x=y是处理向量模常用的方法，通过平方以及利用向量数量积等知识转为为实数的有关问题的研究。这种方法往往与数学中整体处理方法相结合。【例】（2005年高考浙江卷(理））已知向量a≠e，|e|=1满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（）A.a⊥teB.a⊥(a－e)C.e⊥(a－e)D.(a＋e)⊥(a－e)【分析】|a－te|≥|a－e|两边同时平方展开进行讨论；【解】∵t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，等价于|a－te|2≥|a－e|2恒成立，即（a－te）2≥（a－e）2恒成立.展开整理得t2－2aet＋(2ae－1)≥0对任意t∈R均成立.则需方程的判别式△=(－2ae)2－4(2ae－1)≤0.整理得(ae)2－2(ae)＋1≤0，即(ae－1)2≤0.∴ae=1.∴e(a－e)=ea－e2=1－1=0.∴e⊥(a－e).∴应选C.【评析】|x±y|2=(x±y)2=x+y±2xycosx,y是常用的一个公式，应熟练掌握。22224．“建基设系”利用平面向量基本定理，即如果e1、2是同一平面的两个不共线向量，e则对这个平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.因此可以将平面上任何一个向量a表示成不共线两个向量e1,e2的线性组合形式，这在证明相关的平面几何时尤为常用。特别地，向量的中点公式OM=1(OA+OB),M为A、B的中点。2222【例】在△ABC内求一点P，使AP+BP+CP取得最小值，该点是三角形的A．垂心B．内心C．重心D，外心【