高三数学理科二轮复习1-3-9椭圆双曲线抛物线

高考专题训练九椭圆、双曲线、抛物线班级_______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点M到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74解析：利用抛物线定义A到准线距离|AA′|，B到准线距离|BB′|，且|AA′|＋|BB′|＝3，AB中点M到y轴距离d＝32－14＝54.答案：C2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3解析：如图所示．答案：C3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45解析：由y2＝4xy＝2x－4得：y2－2y－8＝0,y1＝4，y2＝－2.则A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)|AF|＝4－12＋42＝5，|BF|＝1－12＋－2－02＝2|AB|＝4－12＋4＋22＝35cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF|·|BF|＝25＋4－452×5×2＝－45.答案：D4．(2011·浙江)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2解析：依题意：a2－b2＝5，令椭圆x2b2＋5＋y2b2＝1，如图可知MN＝13AB，∴x2Nx2B＝19，由y＝2xx2b2＋5＋y2b2＝1，∴x2N＝b2b2＋55b2＋20，由y＝2xx2＋y2＝a2∴x2B＝a25，∴x2Nx2B＝b2b2＋55b2＋20a25＝19，∴又a2＝b2＋5，∴9b2＝b2＋4，∴b2＝12.答案：C5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：∵|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，∴|PF1|＝43|F1F2|，|PF2|＝23|F1F2|则若|PF1|＋|PF2|＝43|F1F2|＋23|F1F2|＝2|F1F2||F1F2|，知P点在椭圆上，2a＝4c，∴a＝2c，∴e＝12.若|PF1|－|PF2|＝43|F1F2|－23|F1F2|＝23|F1F2||F1F2|，知P点在双曲线上，2a＝43c，∴ca＝32，∴e＝32.答案：A6．(2011·邹城一中5月模拟)设F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·F2P→＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为()A.2＋12B.2＋1C.3＋12D.3＋1解析：∵(OP→＋OF2→)·F2P→＝0，∴OB⊥PF2且B为PF2的中点，又O是F1F2的中点∴OB∥PF1，∴PF1⊥PF2.则|PF1|－|PF2|＝2a|PF1|2＋|PF2|2＝4c2|PF1|＝3|PF2|整理，可得(3－1)c＝2a，∴e＝ca＝3＋1.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·江西)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：可知其中一个切点(1,0)为椭圆的右焦点，∴c＝1.两切点的连线AB被OP垂直平分，∴所求直线OP斜率kOP＝12.∴kAB＝－2，∴直线AB：y－0＝－2(x－1)∴y＝－2x＋2，∴上顶点坐标为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5∴椭圆方程x25＋y24＝1.答案：x25＋y24＝18．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析：由已知4a＝16，a＝4，又e＝ca＝22，∴c＝22，∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝19．(2011·浙江)设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是____________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵F1(－2，0)，F2(2，0)，∵F1A→＝(x1＋2，y1)，F2B→＝(x2－2，y2)，∴(x1＋2，y1)＝5(x1－2，y2)，∵x1＋2＝5x2－2y1＝5y2⇒x1＝5x2－62y1＝5y2，又∵点A，B都在椭圆上，∴x223＋y22＝1，x213＋y21＝1，∴5x2－6223＋(5y2)2＝1，∴25x22－602x2＋723＋25y22＝1，∴25x223＋y22－202x2＋24＝1，∴25－202x2＋24＝1，∴x2＝652，∴x1＝5x2－62＝0，∴把x1＝0代入椭圆方程得y21＝1，∴y1＝±1，∴点A(0，±1)．答案：(0，±1)10．(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C：x29－y227＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝________.解析：如图所示，由角平分线定理知：|AF1||AF2|＝|F1M||F2M|，∵点M为(2,0)，∴点A在双曲线的右支上，∵F1(－6,0)，F2(6,0)，a＝3，∴|F1M|＝8，|F2M|＝4，∴|AF1||AF2|＝84＝2，①又由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝6，②由①②解得|AF2|＝6.答案：6三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1，由题意又有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24①设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2y3＝λy1＋y2又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2化简得：λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.12．(13分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2＋y2b2＝1，C2：b2y2a4＋x2a2＝1(ab0)．设直线l：x＝t(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得At，aba2－t2，Bt，baa2－t2当e＝12时，b＝32a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|:|AD|＝2|yB|2|yA|＝b2a2＝34.(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立，即baa2－t2t＝aba2－t2t－a，解得t＝－ab2a2－b2＝－1－e2e2·a因为|t|a，又0e1，所以1－e2e21，解得22e1.所以当0e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22e1时，存在直线l，使得BO∥AN.