高三数学理科二轮复习1-5-13一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用

高考专题训练十三一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用班级_______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·陕西)设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b解析：∵ba0，∴a＋b2ab，2bb＋a，∴ba＋b2，∴aaba＋b2b.答案：B2．(2011·福建)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9解析：f′(x)＝12x2－2ax－2b.因在x＝1处有极值，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6，ab≤a＋b22＝9.答案：D3．(2011·广东B)不等式2x2－x－10的解集是()A.－12，1B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.－∞，－12∪(1，＋∞)解析：∵2x2－x－10，∴(2x＋1)(x－1)0，∴x1或x－12，∴原不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)．答案：D4．(2011·山东)设变量x，y满足约束条件x＋2y－5≤0x－y－2≤0x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为()A．11B．10C．9D．8.5解析：可行域如图当目标函数过点A时，取最大值，由x－y－2＝0x＋2y－5＝0得A(3,1)，故最大值为10.答案：B5．(2011·浙江)若实数x，y满足不等式组x＋2y－5≥0，2x＋y－7≥0，x≥0，y≥0，则3x＋4y的最小值是()A．13B．15C．20D．28解析：由线性约束条件作出可行域如图所示，直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点P(3,1)，令z＝3x＋4y，∴zmin＝13.答案：A6．(2011·商丘市高三一模)定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(3a＋b)1，则b＋2a＋1的取值范围是()A．(1,2)B．(2,5)C．(1,5)D．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象可得y＝f(x)(如下图)的大致图象，由图象可知，当a0，b0即3a＋b0时，y＝f(x)为增函数，又∵f(3)＝1，∴f(3a＋b)f(3)∴3a＋b3a0b0，作出可行域如下图∴b＋2a＋1的最小值为直线AB的斜率kAB＝1b＋2a＋1的最大值为直线AC的斜率kAC＝5∴b＋2a＋1∈(1,5)，故选C.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·陕西省高考全真模拟一)若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，则a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，当且仅当ax＝by时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝4x＋91－2xx∈0，12的最小值为________．解析：由题意知，f(x)＝22x＋321－2x，x∈0，12，∵2≠3且均为正常数，x∈0，12，∴1－2x∈(0,1)，∴22x＋321－2x≥2＋321－x，当且仅当2x＝31－2x时，即x＝27时等号成立，即f(x)≥35.答案：358．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥01，x0，则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的取值范围是________．解析：本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关键在于正确利用函数的性质进行等价转化．由题意有1－x202x0或1－x22x2x≥0，解得－1x0或0≤x2－1，∴所求x的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)9．(2011·湖南)设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．解析：作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB.∵目标函数可化为y＝－15x＋15z.它在y轴上的截距最大时z最大．∴当目标函数线过点A时z最大．由x＋y＝1y＝mx解得A1m＋1，mm＋1，∴zmax＝1m＋1＋5mm＋1＝5m＋1m＋1＝4，∴m＝3.答案：310．(2011·湖北省黄冈中学模拟考试)若实数x，y满足4x＋3y＝0，x－y≥－14，x－y≤7，则x2＋y2的取值范围是________．解析：如图所示，不等式组4x＋3y＝0x－y≥－14x－y≤7所表示的可行域为线段AB，x2＋y2可看作是可行域内的点P(x，y)到原点O的距离，由图易知|PO|min＝0，|PO|max＝|AO|，由4x＋3y＝0，x－y＝－14，得A(－6,8)，故|PO|max＝－62＋82＝10，即x2＋y2的取值范围为[0,10]．答案：[0,10]三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·江西师大附中、临川一中高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，又函数f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递减．(1)求不等式f(3x)f(2x－1)的解集；(2)设(1)中不等式的解集为A，对于任意的t∈A，不等式x2＋(t－2)x＋1－t0恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)∵f(x)＝f(4－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减．∴不等式f(3x)f(2x－1)⇔|3x－2||2x－1－2|⇔(3x－2)2(2x－3)2⇔(5x－5)(x＋1)0⇔－1x1，∴原不等式的解集为(－1,1)．(2)令g(t)＝(x－1)t＋(x2－2x＋1)．t∈(－1,1)时，不等式x2＋(t－2)x＋(1－t)0恒成立，即g(t)0在t∈(－1,1)上恒成立．当x≠1时，g－1≥0g1≥0，⇒x2－3x＋2≥0x2－x≥0⇒x≤1或x≥2x≤0或x≥1⇒x≤0或x＝1或x≥2，∴x≤0或x≥2.当x＝1时，00，显然不成立，∴x≠1，综上，x∈(－∞，0]∪[2，＋∞)．12．(13分)(2011·广东B)设b0，数列{an}满足a1＝b，an＝nban－1an－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.解：(1)(ⅰ)若b＝1，则a1＝1，an＝nan－1an－1＋n－1(n≥2)则nan＝an－1＋n－1an－1＝1＋n－1an－1.∴nan是首项为1，公差为1的等差数列，∴nan＝n，∴an＝1.(ⅱ)若b≠1，则ann＝ban－1an－1＋n－1，∴nan＝1b＋1b·n－1an－1，∴nan－1b－1＝1bn－1an－1－1b－1，∴数列nan－1b－1是首项为－1bb－1，公比为1b的等比数列，∴nan－1b－1＝－1bb－1·1bn－1，∵nan＝1b－1－1bb－1·1bn－1，∴an＝nb－1bnbn－1.(2)证明：当b＝1时，2an＝2≤2成立当b≠1时，an＝nb－1bnbn－1＝nb1－1bn1－1b＝nb1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1，要证2an≤bn＋1＋1，只要证an≤bn＋1＋12，只要证nb1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1≤bn＋1＋12即证2nb≤(bn＋1＋1)1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1.∵(bn＋1＋1)1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1＝bn＋1＋bn＋…＋b2＋1＋1b＋1b2＋1bn－1＝bn＋1＋1bn－1＋bn＋1bn－2＋…＋(b2＋1)≥＝2nb.∴2nb≤(bn＋1＋1)1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1，从而2an≤bn＋1＋1成立．