高三数学理科二轮复习同步练习2-3-23函数导数与不等式解析几何数列型解答题Word版含答案

高考专题训练二十三函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_______姓名_______时间：45分钟分值：72分总得分________1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC的三内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，平面向量m＝(cosA，cosC)，n＝(c，a)，p＝(2b,0)，且m·(n－p)＝0.(1)求角A的大小；(2)当|x|≤A时，求函数f(x)＝sinxcosx＋sinxsinx－π6的值域．解：(1)m·(n－p)＝(cosA，cosC)·(c－2b，a)＝(c－2b)cosA＋acosC＝0⇒(sinC－2sinB)cosA＋sinAcosC＝0⇒－2sinBcosA＋sinB＝0.∵sinB≠0，∴cosA＝12⇒A＝π3.(2)f(x)＝sinxcosx＋sinxsinx－π6＝12sinxcosx＋32sin2x＝14sin2x＋32·1－cos2x2＝34＋14sin2x－34cos2x＝34＋12sin2x－π3.∵|x|≤A，A＝π3，∴－π3≤x≤π3⇒－π≤2x－π3≤π3.∴－1≤sin2x－π3≤32⇒3－24≤34＋12sin2x－π3≤32.∴函数f(x)的值域为[3－24，32]．2．(12分)(2011·正定)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B—DEF的体积．分析：本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力．解：(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG、GH，由于H为BC的中点，故GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2.又EF＝1，[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴VB－DEF＝13×12×1×2×2＝13.3．(12分)(2011·预测题)小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为45，34，23，且每个问题回答正确与否相互独立．[来源:学科网ZXXK](1)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．解：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1，则P1＝45214＋34×14＝725.(2)X的取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝15＋45×15＝925，P(X＝1000)＝45214＋34×14＝725，P(X＝3000)＝4523421－232－C12232×13＝775，P(X＝6000)＝452342232＋C12232×13＝415，∴X的概率分布列为X0100030006000P[来源:学科网]925725775415∴X的数学期望E(X)＝0×925＋1000×725＋3000×775＋6000×415＝2160.4．(12分)(2011·天津卷)已知a0，函数f(x)＝lnx－ax2，x0.(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区间；(2)当a＝18时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f32；(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：ln3－ln25≤a≤ln23.分析：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力．解：(1)f′(x)＝1x－2ax＝1－2ax2x，x∈(0，＋∞)．令f′(x)＝0，解得x＝2a2a.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x0，2a2a2a2a2a2a，＋∞f′(x)＋0－f(x)极大值所以，f(x)的单调递增区间是0，2a2a，f(x)的单调递减区间是2a2a，＋∞.(2)证明：当a＝18时，f(x)＝lnx－18x2，由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．[来源:学科网]令g(x)＝f(x)－f32.由于f(x)在(0,2)内单调递增，故f(2)f32，即g(2)0.取x′＝32e2，则g(x′)＝41－9e2320.所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f32.(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′2，且g(x′)0即可．)(3)证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知α2a2aβ，从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)，又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.故f2≥fα≥f1，f2≥fβ≥f3.即ln2－4a≥－a，ln2－4a≥ln3－9a.从而ln3－ln25≤a≤ln23.5．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA→·QB→＝4.求y0的值．分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．解：(1)由e＝ca＝32，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)可知A(－2,0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由－2x1＝16k2－41＋4k2，得x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为M，则M的坐标为－8k21＋4k2，2k1＋4k2.以下分两种情况：[来源:学.科.网Z.X.X.K]①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝(－2，－y0)，QB→＝(2，－y0)．由QA→·QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1kx＋8k21＋4k2.令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由|QA→|＝(－2，－y0)，QB→＝(x1，y1－y0)，QA→·QB→＝－2x1－y0(y1－y0)＝－22－8k21＋4k2＋6k1＋4k24k1＋4k2＋6k1＋4k2＝416k4＋15k2－11＋4k22＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147，所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.6．(12分)(2011·湖北卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．分析：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想．解：(1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，又a2＝ra1＝ra，所以当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得an＋2an＋1＝r＋1(n∈N*)，∴a2，a3，…，an，…成等比数列，∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.综上，数列{an}的通项公式为an＝a，n＝1，rr＋1n－2a，n≥2.(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：当r＝0时，由(1)知，an＝a，n＝1，0，n≥2.∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1.若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．