高三数学第一轮复习精品讲义求数列的通项公式

高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第1页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究数列的通项公式【知识网络·知识点梳理】求数列通项公式的常见题型与方法：1．由数列的前几项，考察各项与项数之间的关系，归纳出数列的通项公式。2．利用“归纳—猜想—证明”的方法求通项。3．利用nS与na的关系：)2()1(11nSSnSannn，求通项。4．根据数列的递推公式求数列的通项公式，其中常用方法有：（1）构造法：通过构造特殊的数列（如等差、等比数列等），从而求出数列的通项公式的方法。这是一种较常用的方法。[来源:学。科。网]（2）迭代法：将递推公式适当变形后，用前面的项逐步代替后面的项，重复此步骤，最后在一般项和初始条件之间建立某种关系从而求出通项的方法。具体体现为累加法和累积法求通项公式。（3）待定系数法：即先设定数列通项的基本形式，再由已知条件求出待定系数的方法。【学习要点】1．求数列通项公式的常用方法是运用等差、等比数列的通项公式；或将数列进行适当的变形，转化为可求通项的数列。2．对nS与na的关系要记熟，并能灵活运用。一般涉及nS与na的问题，总离不开两者隐含的关系。3．掌握一些简单递推数列求通项的基本方法。如累加、累乖、待定系数法等。其中累加的公式：112211)()()(aaaaaaaannnnn累乖的公式：13211221nnnnnaaaaaaaaaa【典型例题】例1、已知数列}{na的首项11a（1）若12nnaa，则na__________；（2）若12nnaa，则na_________（3）若11nnaan，则na__________；（4）若12nnnaa，则na_______（5）若1)1(nnanna，则na__________；（6）若)2(231naann，则na__________；（7）若11nnnaaa，则na__________。【小结归纳】高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第2页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究★例2、已知数列}{na满足*12211,4,43().nnnaaaaanN（1）求34,aa的值；（2）证明：数列1nnaa是等比数列；（3）求数列}{na的通项公式；【小结归纳】★例3、设数列}{na的各项都是正数，且)(233231NnSaaann，其中Sn是数列}{na的前n项和（1）求证：nnnaSa22；（2）求数列}{na的通项公式。【小结归纳】★★例4、已知数列}{na的前n项和nS满足nnnaS)1(2（Nn），（1）写出数列}{na的前三项1a，2a，3a；（2）求通项na【小结归纳】★★★例5、已知数列{an}的前n项和为nS，且12nnaS，数列}{nb满足21b，nnnbab1求na，nb【小结归纳】高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第3页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究【课内练习】1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为A．14nanB．223nnnanC．12nnanD．不存在2．在数列}{na中，21a，naann21，则3aA.6B.5C.4D.33．数列}{na中，a1=1，对于所有的2n，*nN都有2123naaaan，则35aa等于A.1661B.925C.1625D.15314．下列各式中，可以作为数列}{na的通项公式的是：A．2nanB．)2(log1nannC．112nnanD．4tannan5．在数列}{na中，2,121aa，nnnaaa122，则4aA．3B．4C．5D．66．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A．289B．1024C．1225D．13787．数列}{na的前n项和)2(2nanSnn，而11a，通过计算2a，3a，4a猜想naA．2)1(2nB．nn)1(2C．122nD．122n8．数列}{na中，)2(31,1111naaaannn，则数列｛an｝的通项公式是：A．231nB．231nC．321nD．321n9．数列}{na中，若)(2)13(1NnaSnn，且544a，则1a的值是________.10．数列}{na满足2112313333nnnaaaa*()nN，则na__________.高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第4页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究11．已知数列}{na满足21a，Nn，0na，且0)1(2112nnnnnaaaan，则数列}{na的通项公式是na______。12．已知数列}{na的前n项和nS，321a，nnnaSS21)2(n，通过计算4321,,,SSSS可以猜想nS______________,13．已知数列}{na满足)(13311Nnaannn，且3654a（1）求1a的值；（2）若数列}3{nnta为等差数列，求常数t的值；（3）求数列的}{na通项na。14．已知数列}{na的前n项和为nS，且对任意正整数n都有2(2)1nnSna．（1）求数列}{na的通项公式；（2）设13242111nnnTaaaaaa，求nT．15.设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（1）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（2）求数列{}na的通项公式。高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第5页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究数列的通项公式参考答案例1．已知数列}{na的首项11a（1）若12nnaa，则na__21n___；（2）若12nnaa，则na____12n___（3）若11nnaan，则(1)2nnna______；（4）若12nnnaa，则(1)22nnna___（5）若1)1(nnanna，则nan1（6）若)2(231naann，则1231nna（7）若11nnnaaa，则nan1解：（5）（解法一）：由已知有11nnaann，则当2n时，有nnaann11故1122321231aaaaaaaaaaaannnnn1213223121nnnnnnn1又11a适合上式，故nan1（Nn）例2（1）解：3214324313,4346aaaaaa（2）证明：2143,nnnaaa2113()nnnnaaaa又121,4aa，2113nnnnaaaa，则}{1nnaa是以213aa为首项，3为公比的等比数列（3）由（2）13nnnaa，则2n时，113nnnaa故112211)()()(aaaaaaaannnnn133321nn2133131nn又11a适合上式，故Nn，213nna例3．设数列}{na的各项都是正数，且)(233231NnSaaann，其中Sn是数列}{na的前n项和高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第6页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究（1）求证：nnnaSa22；（2）求数列}{na的通项公式。例3．（1）证明：当1n时，2131aa，又01a，故11a当2n时，有21313231233231nnnnSaaaSaaa两式相减得：))((112123nnnnnnnSSSSSSa则nnnnaaSa)2(30na，nnnaSa22又11a适合上式，故Nn，nnnaSa22（2）解：由（I）当2n时，有nnnaSa22且11212nnnaSa两式相减得11212)(2nnnnnnaaSSaa1nnaa0na11nnaa，即{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故nan例4．已知数列}{na的前n项和nS满足nnnaS)1(2（Nn），（1）写出数列}{na的前三项1a，2a，3a；（2）求通项na解：（1）由12111aSa，得11a；由122221aSaa，得02a；由1233321aSaaa，得12133aa，即23a（2）当2n时，1nnnSSa11)1(2)1(2nnnnaa则11)1(22nnnaa，故有：111)21(22nnnnnaa令nnnab2（2n），则11)21(nnnbb112211)()()(bbbbbbbbnnnnn21)21()21()21()21(321nnn21])21(1[3221)21(1)21(1nn则nnnna2212])21(1[32，即nnna)1(32261，其中2n因为11a适合上式，故nnna)1(32261，Nn例5．解：由12111aSa，得11a；高三数学第一轮复习精品讲义注意方法循序渐进第7页共9页高考备考专家工作室编写[e-mail]版权所有侵权必究当2n时，1nnnSSa122nnaa，12nnaa，则21nnaa故{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则12nna由nnnabb1，得112nnnnabb112211)()()(bbbbbbbbnnnnn1222121222211032nnnn，其中2n因为21b适合上式，故121nnb（Nn）1~8CCACBCBA解析：3．解析一：令n=2、3、4、5，分别求出a3=49，a5=1625，∴a3+a5=1661.解析二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an=n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1=（n－1）2.两式相除an=（1nn）2，∴a3=49，a5=1625.∴a3+a5=1661.答案：A6．由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnna，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn，则由2nbn()nN可排除A、D，又由(1)2nnna知na必为奇数，故选C.8．法一：代入检验法，当1n时，只有选项A满足11a，故选A。法二：由已知有3111nnaa，则}1{na是首项为1，公差为3的等差数列，则231nan，即231nan二、填空题：9．_2___.10．na_21332nnn_11．_n2__12．nS_21nn___解析：9．因13141344272)13(2)13(aaaSSa，则54271a，故21a12．121nnnnnSSaSS，则0211