高三数学第一轮复习课时作业(47)直线与圆圆与圆的位置关系

课时作业(四十七)第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系时间：45分钟分值：100分基础热身1．直线x＋3y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1截得的线段的长为()A．1B.2C.3D．22．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A．πB．2πC．4πD．6π3．2011·哈尔滨九中二模已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2，2)C.－24，24D.－18，184．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的取值集合为()A．{3}B．{7}C．{3,7}D．{2,7}能力提升5．2011·山东实验中学二模圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0θ≠π2＋kπ，k∈Z的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不能确定6．2011·重庆卷在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．52B．102C．152D．2027．2011·吉林一中冲刺曲线y＝1＋4－x2(|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，实数k的取值范围是()A.512，34B.512，＋∞C.13，34D.0，5128．2010·江西卷直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A.－34，0B.－∞，－34∪0，＋∞)C.－33，33D.－23，09．2011·郑州三模若函数f(x)＝1beax的图像在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定10．2011·吉林一中冲刺在平面直角坐标系xOy中，已知x2＋y2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．11．2010·山东卷已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．12．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．13．2011·江苏卷设集合A＝(x，y)m2≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．14．(10分)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．15．(13分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．难点突破16．(12分)已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a2，b2)．(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．C解析圆心到直线的距离d＝|1＋0－2|12＋(3)2＝12，∴弦长l＝2r2－d2＝3.2．B解析圆即x2＋(y－6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即13×(2π)×3＝2π.3．C解析圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点线距离公式得|k＋2k|k2＋11，即k218，解得－24k24.4．C解析集合A，B表示两个圆，A∩B中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r＝3；内切时，r＝7，即r的值是3或7.【能力提升】5．A解析圆心到直线的距离d＝11＋sin2θ，根据θ的取值范围，0≤sin2θ1，故d12＝r注意条件θ≠π2＋kπ，k∈Z时，sinθ≠±1..6．B解析将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10.设圆心为G，易知G(1,3)．最长弦AC为过E的直径，则|AC|＝210.最短弦BD为与GE垂直的弦，如图1－2所示．易知|BG|＝10，|EG|＝(0－1)2＋(1－3)2＝5，|BD|＝2|BE|＝2BG2－EG2＝25.所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC||BD|＝102.故选B.7．A解析曲线y＝1＋4－x2为一个半圆，直线y＝k(x－2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由|－2k－1＋4|1＋k2＝2，解得k＝512，又kAP＝34，所以k的取值范围是512，34.8．C解析直线过定点(0,3)．当直线与圆的相交弦长为23时，由垂径定理定理可得圆心到直线的距离d＝1，再由点到线的距离公式可得|2k－3＋3|1＋k2＝1，解得k＝±33.结合图像可知当直线斜率满足k∈－33，33时，弦长|MN|≥23.9．B解析f′(x)＝abeax，所以在x＝0处的切线斜率为k＝ab，切点为0，1b，切线方程为y－1b＝abx，即ax－by＋1＝0，它与圆x2＋y2＝1相离，所以圆心到该直线的距离大于1，即1a2＋b21，即a2＋b21，所以点在圆内．10．(－13,13)解析直线12x－5y＋c＝0是平行直线系，当圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即|c|131，故－13c13.11．x＋y－3＝0解析由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：|a－1|22＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.12．(－2，－2∪2，2)解析方法1：将直线方程代入圆的方程得2x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－2)0得m24，即－2m2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－22，|＋|≥||即|＋|≥|－|，平方得·≥0，即x1x2＋y1y2≥0，即x1x2＋(m＋x1)(m＋x2)≥0，即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2≥0，即2×m2－22＋m(－m)＋m2≥0，即m2≥2，即m≥2或m≤－2.综合知－2m≤－2或2≤m2.方法2：根据向量加减法的几何意义|＋|≥||等价于向量，的夹角为锐角或者直角，由于点A，B是直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m满足1≤|m|22，即－2m≤－2或者2≤m2.13.12≤m≤2＋2解析若m0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而由|2－2m－1|2≤|m|，解之得2－22≤m≤2＋22，矛盾；若m＝0，则代入后可知矛盾；若m0，则当m2≤m2，即m≥12时，集合A表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B表示一个带形区域，且两直线间距离为22，从而当直线x＋y＝2m与x＋y＝2m＋1中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即可符合题意，从而有|2－2m|2≤|m|或|2－2m－1|2≤|m|，解之得2－22≤m≤2＋2，所以综上所述，实数m的取值范围是12≤m≤2＋2.14．解答设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则(a－1)2＋b2＝r＋1.①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝3.②|a＋3b|2＝r.③解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.15．解答设存在直线方程为y＝x＋b满足条件，代入圆的方程得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，直线与该圆相交则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)0，解得－3－32b－3＋32.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝b2＋4b－42，以AB为直径的圆过原点时，AO⊥BO，即x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，把上面式子代入得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，都在－3－32b－3＋32内，故所求的直线是y＝x－4或y＝x＋1.【难点突破】16．解答(1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝|a＋b－ab|a2＋b2＝1，即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.(2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝12(x1，y1)．(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4ab，解得ab≥2＋2(舍去ab≤2－2)，当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋42，所以△AOB面积的最小值是3＋22.