高三数学练习4

高三数学练习41.设aR,s:数列2()na是递增数列；t:a1,则s是t的条件2.已知数列na满足143a，*11226nnanNa，则11niia=▲．3.各项均为正数的等比数列na中，若11a，22a，33a，则4a的取值范围是4.已知六个点11(,1)Ax，12(,1)Bx,23(,1)Ax,24(,1)Bx,35(,1)Ax,36(,1)Bx(123456xxxxxx,615xx)都在函数f(x)=sin(x+3)的图象C上，如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为（两点不计顺序）5.已知f(x)=222mxm,0,,mmRxR.若121xx，则12()()fxfx的取值范围是6.已知实数,xy同时满足54276xy，2741loglog6yx≥，2741yx≤，则xy的取值范围是▲．7.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为1P32,乙的命中率为2P,在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”.(1)若2P21,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)计划在2013年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为,如果5E,求2P的取值范围.8.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCDABAD为长方形薄板，沿AC折叠后，AB交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACBPD的面积最大时制冷效果最好．ABCD（第8题）BP（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？9.已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且1()2nnnaaS．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg3nnnab，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．10.已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，233)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．高三数学练习41.设aR,s:数列2()na是递增数列；t:a1,则s是t的条件2.已知数列na满足143a，*11226nnanNa，则11niia=▲．3.各项均为正数的等比数列na中，若11a，22a，33a，则4a的取值范围是4.已知六个点11(,1)Ax，12(,1)Bx,23(,1)Ax,24(,1)Bx,35(,1)Ax,36(,1)Bx(123456xxxxxx,615xx)都在函数f(x)=sin(x+3)的图象C上，如果这六个点中不同两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为（两点不计顺序）5.已知f(x)=222mxm,0,,mmRxR.若121xx，则12()()fxfx的取值范围是6.已知实数,xy同时满足54276xy，2741loglog6yx≥，2741yx≤，则xy的取值范围是▲．7.某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为1P32,乙的命中率为2P,在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”.(1)若2P21,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)计划在2013年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为,如果5E,求2P的取值范围.解:(1)可得)2121)(3232()2121)(3132(1212CCP31…………………4分(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为222222212129498)3232()]1()[3132(PPPPPCCP,而～),12(PB,所以PE12,由5E,知512)9498(222PP,解得1432P………………………………10分8.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCDABAD为长方形薄板，沿AC折叠后，AB交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACBPD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，ABx，2BCx．因2xx，故12x．………2分设DPy，则PCxy．因△ADP≌△CBP，故PAPCxy．由222PAADDP，得2221()(2)2(1)xyxyyx，12x．……5分（2）记△ADP的面积为1S，则11(1)(2)Sxx…………………………………………6分23()222xx，当且仅当2x∈(1，2)时，S1取得最大值．……………………………8分故当薄板长为2米，宽为22米时，节能效果最好．…………………9分（3）记△ADP的面积为2S，则221114(2)(1)(2)3()22Sxxxxxx，12x．………………10分于是，33222142(2)022xSxxxx．………………11分关于x的函数2S在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x时，2S取得最大值．………………13分故当薄板长为32米，宽为322米时，制冷效果最好．………………14分9.已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且1()2nnnaaS．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg3nnnab，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．解：(1)令n=1，则a1=S1=111()2aa=0．………………………3分ABCD（第17题）BP(2)由1()2nnnaaS，即2nnnaS，①得11(1)2nnnaS．②②－①，得1(1)nnnana．③于是，21(1)nnnana．④③+④，得212nnnnanana，即212nnnaaa．…………7分又a1=0，a2=1，a2－a1=1，所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，an=n－1．……………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，21333pqpq．…………………11分所以，213()33qppq(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解．……………13分当p≥3，且p∈N*时，112(1)224333pppppp0，故数列{23pp}(p≥3)为递减数列，于是2133pp≤3231330，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n≥2的情形予以说明的，扣1分．10.已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，233)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．解：依题设c=1，且右焦点F(1，0)．所以，2a=EFEF=222323(11)2333，b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为22132yx．………………4分(2)设A(1x，1y)，B(2x，2y)，则2211132xy①，2222132xy②．②－①，得21212121()()()()032xxxxyyyy．所以，k1=212121212()423()63PPyyxxxxxyyy．……………………9分(3)依题设，k1≠k2．设M(Mx,My)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得2221122(23)6360kxkkxk．于是，1221323Mkkxk，221223Mkyk．……………11分同理，1222323Nkkxk，122223Nkyk．当k1k2≠0时，直线MN的斜率k=MNMNyyxx222211212146()9()kkkkkkkk=21211069kkkk．…………13分直线MN的方程为2211222211121063()92323kkkkkyxkkkk，即21211222221211110610632()992323kkkkkkkyxkkkkkk，亦即2121106293kkyxkk．此时直线过定点2(0,)3．…………………15分当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点2(0,)3．综上，直线MN恒过定点，且坐标为2(0,)3．…………………16分