高三数学第一轮复习课时作业(67)合情推理与演绎推理

课时作业(六十七)第67讲合情推理与演绎推理时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·焦作模拟在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8b5＋b7B．b4＋b8b5＋b7C．b4＋b7b5＋b8D．b4＋b7b5＋b82．2011·豫南九校联考规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．2011·万州模拟已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{bn}(bn0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝()A.m－nbmanB.n－mbnamC.n－mbnamD.n－mbman4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2013(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0D．x＋2y＋z＋2＝08．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以y＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()124357681012911131517141618202224图K67－1A．105B．106C．107D．10810．对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．11．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．2011·宁波模拟在计算“11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)(n∈N*)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：1k(k＋1)＝1k－1k＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n(n＋1)＝1n－1n＋1，相加，得11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)”，其结果为________．13．2011·浙江五校联考某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为____________(n∈N*)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定Cmx＝x·(x－1)·…·(x－m＋1)m！，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，这是组合数Cmn(m，n是正整数，且m≤n的一种推广)．(1)求C5－15的值；(2)组合数的两个性质：①Cmn＝Cn－mn.②Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.是否都能推广到Cmx(x∈R，m是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数Cmn是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，Cmx∈Z.课时作业(六十七)【基础热身】1．A解析在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8b5＋b7或b4＋b8b5＋b7.∵b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7∴(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q1，bn0，∴b4＋b8b5＋b7.故选A.2．D解析显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的bnam，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－mbnam.故bm＋n＝n－mbnam.4．①③④解析①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C解析f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，故可猜测fn(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cosx，故选C.6．A解析两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A解析类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A解析y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.10．VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0解析平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.43πR3′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数12.n2＋3n4(n＋1)(n＋2)解析∵1k(k＋1)(k＋2)＝121k(k＋1)－1(k＋1)(k＋2)，依次裂项，求和得n2＋3n4(n＋1)(n＋2).13．f(n)＝2n2－2n＋1解析由f(1)＝1，f(2)＝1＋3＋1，f(3)＝1＋3＋5＋3＋1，f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f(n)＝1＋3＋5＋…＋2n－1＋…＋3＋1，∴f(n)＝2×(n－1)[1＋(2n－3)]2＋(2n－1)＝2n2－2n＋1.14．解答(1)f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝f(n)－f(n－1)＋f(n－1)－f(n－2)＋…＋f(2)－f(1)＋f(1)＝6(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.(2)证明：当k≥2时，1f(k)＝13k2－3k＋113k2－3k＝131k－1－1k.所以1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)1＋131－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋131－1n1＋13＝43.15．解答(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有S2平面ABB1A1＝S2平面BCC1B1＋S2平面ACC1A1－2S平面BCC1B1S平面ACC1A1cosα.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角的大小．证明：∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcos∠MNP，∴PM2