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高二数学解题教学的高效性的反思李应明在高二下学期的教学中我教的是高二（1）班和高二（7）班的数学教学这两个班中基础差别很大，在高二下半期我就开始进行高三复习，所以在教学中对数学的解题技巧作如下反思：首先在数学教学解题教学中，教师要着力引导学生参与分析、展示过程；善于通过示范、引导、讨论教给学生分析问题的思路和方法。“数学探究”是新课程改革竭力倡导的一种研究性学习方式,这为解题教学注入了新的活力。一题多解、一题多变是数学解题教学中行之有效的好方法，是数学创新教学的重要途径。坚持“源于课本、高于课本”的原则，以现行教材为依据求变、求新、求活。一、引导审题，寻找突破口在教学实践中我们常发现，许多学生拿到题目束手无策，究其根源，常常是审题不到位，不能充分利用条件或错误理解题意。因此在解题教学中要引导学生抓好审题关。审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程。审题的关键是明确解题目标。首先，要了解问题的叙述，仔细分析问题的主要部分，全面思考，尽量使解题目标清晰明了；其次，应剖析求解目标与已知条件的关系，尽可能联想有关的概念、公式、定理、法则和方法，以寻找解题的突破口。例：已知f(x)=-12x2+x，是否存在实数m、n(mn)，使函数f(x)的定义域与值域分别是[m,n]和[3m,3n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由。分析：这是一道关于一元二次函数在闭区间上的最值问题的探索题，容易想到分类讨论。然而仔细分析本题目标：求m、n的值使f(x)在定义域[m,n]上的值域是[3m,3n]，经配方得：f(x)=-12（x-1）2+12，不难发现有3m3n≤12，即n≤16，而f(x)的对称轴为x=1，所以函数是定义在[m,n]上是增函数，从而找到解题的突破口，令()3()3fmmfnnì=ïïíï=ïî即224040mmnnìï+=ïíï+=ïî解得40mnì=-ïïíï=ïî，引导学生寻找解题突破口，就要让学生切实弄清未知与已知之间的相互联系，通过对解题目标的分析，充分挖掘解题要素，获得解题的最佳切入点。尤其是在解决含有字母参数的数学问题或是否存在型探索性问题时，可避免讨论或减少讨论，以此简化解题过程，促进思维能力的发展。二、规范答题，提高准确性解题能力的高低，不仅表现在能否快速、正确地找到解题思路，还表现在能否规范、准确地表达解题者的思想。大家都知道，高考试卷中主观题的评分标准都是分步给分的。一般说来，教师在高一、高二新授课教学时，老师能规范示范，学生能规范答题。进入高考数学复习的主要任务是帮助学生构建知识网络，形成知识模块。而习题教学是实现这一目标的必要手段。优质例题不是那些偏题、难题、怪题，而是融入相关知识点、富有启发性，突出通性通法，强化重点，突破难点，矫正误点，具有“小、巧、活、宽”（题型小、方法巧、运用活、覆盖宽）特色的题目。它们能快速有效地将相关的知识和技能重温、巩固、强化，从而提炼出主要思想方法，使“明”（知识）“暗”（思想方法）两“线”相互呼应，相得益彰。如：在解析几何中用代入法求动点轨迹的教学中，我们不妨选取这样的例题：设A的坐标为(2,0)，Q为圆x2+y2=1上任一点，OP是△AOQ中∠AOQ的平分线，求P点的轨迹。解决该问题可以用通法-----“代入法”来解决，同时从这个问题中可以总结出用该法求动点轨迹的一般模型和方法：设点P---得点Q---代入已知圆的方程。对于例题的选取，应具有以下特点：典型性：选例应最具有代表性、最能说明问题，又能突出教材重点、反映新课程标准中最主要而又最基本的要求。试题来源可以是以前教学中日积月累下来的，可以是通过报刊杂志、网络等渠道获取，特别是课本或课本改编的例题，通过典型范例思路的剖析，使学生掌握基本题型及基本规律，揭示知识的内在联系，前后贯通，引伸拓展。层次性：问题难易兼顾，具有良好的层次性，便于不同程度的学生各取所需。灵活性：要求选例的解法多样性、多变性，使学生在解题方法的训练中，进一步抓住数学问题的本质，强化技能，提高灵活思维能力。针对性：选取的例题要注意针对学生的实际，抓住学生平时学习中的“常见病”、“多发病”，紧扣知识的易混点、易错点设计或选例题，做到有的放矢、对症下药。综合性：所选的例题能包括多个知识点，并非单一的课本例题的重现，通过对这类例题的选讲解，达到提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。覆盖性：复习过程中所选编的一套例题，必须能够较全面地体现数学课程标准（或考纲）的要求，尽量能覆盖教材中全部的知识和数学思想，对重点知识及主要的数学思想还应重复再现，避免学生知识结构的断裂。四、多解求变，拓展思维高考数学复习中，如何在有限的时间内发挥出较大的功能？教学经验丰富的教师，可使例题纵横延伸，“横”即一题多解的探索，“纵”即一题多变的特色。实践表明，一题多解、一题多变是培养学生兴趣，摆脱题海战术，以少胜多，优化学生思维，提高教学质量的有效途径。在解题教学中，教师要有意识地引导、鼓励学生多角度寻找问题的解法。如在复习“三角函数求值”问题时，可选择如下问题：已知：6sin2a+sinacosa-2cos2a=0,a∈[2p，π]，求sin(2a+3p)的值。可引导学生从以下角度进行思考,探究问题的解法：思路1：以求a的函数值为主线；思路2：以求2a的函数值为主线；思路3：以求6pa+的函数值为主线。这三种思路都可通过因式分解的变换、弦化切的变换、降次变换等手段，将已知式化为单个的三角函数值后，再结合倍角公式与和角公式，得到所求的三角函数值。在教学中，教师应挖掘问题的多解因素，结合学生的实际情况，鼓励学生以问题为出发点，不囿于单一的解题思路和方法，引导学生在解法上求异。而教学中通过一题多变的教学手段，能使学生吃透知识的外延与内涵，让他们掌握其内涵的发展与外延的变换，使其能融会贯通，从而培养学生深刻的思维品质，提高学生分析问题、解决问题的能力。例：已知x、y满足xyyì+ïïïïíïïïïî≤1x≥y≥0，求z=x2+y2-2y+1的最小值这是关于线性规划的问题,在评讲完本题后,让学生做了如下变式：１．条件不变，提出新结论：(1)求z=2x-y的最大值；(2)求z=2x+y的取值范围；(3)求yx的最大值２．改变题目的条件：已知ìïïíïïî22(x-2)+(y-2)≤1x+y≤3，求z=x2+y2−2y+1的最小值。３．结论条件都改变：已知函数f(x)=x2-6x+5,且x、y满足ìïïíïïîf(x)+f(y)≤8f(x)+f(y)≥0，求z=2x+y的最大值和最小值。让学生对所变式的问题一一分析、验证、解答，使学生对于用线性规划解决求最值问题有了更加深刻的了解与认识。通过对某一题目，引导学生进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化、类比、分解、拓展等多角度、多方位的探讨，使一道题变为一类题，使学生能举一反三、触类旁通，进而培养学生良好的思维品质及探索创新能力。五、错解剖析，正本清源学生普遍只重视例题、练习，对一些概念的理解却不够透彻，常忽略公式、定理的运用条件，以至解题常常出现这样那样的错误。如果一味把正确的解法抛给学生，尽管暂时学生会理解它，但时间一长，往往又所剩无几。针对这种情况，我经常设计一些学生理解容易出现偏差或学生容易忽略条件的题目，引导学生分析、研究错误的原因，寻找治错良方，在知错中改错，在改错中防错，弥补学生在知识上的缺陷，提高解题的准确性，增强思维的严密性。例如，在学习“平均值不等式”时，学生常忽略应用公式的条件，为了引起学生的重视，我依次设计了如下三道练习。练习1：已知x∈R，求函数y=x+1x的值域。练习2：已知0x1，求函数y=x(1−x)2的最大值。练习3：已知x∈（0，2]，求函数y=sinx+2sinx的最小值。练习1，普遍学生忽略了应用平均值不等式的条件，误认为x0，得到的值域是2,，经更正后进入第2小题，结果不少学生这样解：∵x(1-x)2≤22(1)2xx∴当x=(1-x)2时，即x=352时，2(1)3522xx为定值∴函数ymax=7352这显然也是错误的。因为定值不是在“相等”的条件下，而是先有“定值”后有“相等”，本题应先想办法把x(1−x)2变形，使“和”为定值再求解。正确解法如下：21(1)2(1)(1)2yxxxxx，显然有2(1)(1)2xxx为定值，∴21(1)2(1)(1)2yxxxxx≤312(1)(1)42327xxx（当且仅当2x=1-x，即x=13时取等号）∴函数y=x(1−x)2的最大值为427解答练习3时，有了前面的教训，不少学生学会了认真审题，注意到虽然sinx和2sinx都大于0，sinx2sinx为定值，但sinx=2sinx不可能成立，所以本题不能用均值不等式求最值，而应用函数的单调性求解。这3道题的练习，加深了学生对“平均值不等式”的理解，并认识到应用平均值不等式时“一正、二定、三相等”这三个条件的重要性。这种错解剖析，以错纠错来正本清源，有利于学生深刻地理解掌握知识，改善思维品质。反之，如果我们总是把正解的答案直接奉送给学生，则不能暴露问题的矛盾。六、反思总结，巩固升华反思回顾是解题教学的重要一环，其作用在于将解题实践升华。解题能力强的学生常常是善于在解题活动结束后进行反思总结的学生。学生学习僵化，教师一味强化训练，将使学生缺少对数学的感知、感悟，对数学缺乏理解，不可能在高考的考场上得到高分。因此我们一定要在教学中舍得花时间给学生反思、思考，让他们自己去“悟”。