高三数学试题数列通项的求法

数列通项的求法【知识点精讲】求数列的通项方法1、由等差，等比定义，写出通项公式2、利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推qpaann1,我们通常将其化为AapAann1看成{bn}的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题【例题选讲】例1、设{an}的首项为1的正项数列，且,.....3,2,1011221naanaannnnn求它的通项公式。解：由题意a1=1,an0,(n=1,2,3,…..)0111nnnnnaanaannnnnannaaaa10,011有112211......aaaaaaaannnnnnnnnnan1112......121nan1变式：已知数列{an},a1=2,an+1=an+3n+2,求an,解：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…..+（a2-a1）+a1[点评]根据数列递推公式，利用迭加（an-an-1=f(n)）、迭乘（an/an-1=f(n)）、迭代例2、已知数列{an}，a1=1,an+1=nnaa求,132解法一：))......(()......(22132113211naaaannnn由(1)-(2)得：)(1132nnnnaaaa设为等比数列则数列}{nnnnbaab1nnnnnaab）（）（32323211nnnnnaaa323332132法二：设332333211nnnnaaAAaAa即原式化为解得：设为等比数列则数列}{,3nnnbab，nnnnnaab323332231)(法三：,13212aa13232132223aa13232321322334aa………132.....32......13211nnnaanna3233[点评]注意数列解题中的换元思想,如3nnab对数列递推式qpaann1,我们通常将其化为AapAann1看成{bn}的等比数列练习:(1):数列{an}中,a1=1,2an=nnana求),2(21解方法同上:1212nna(2)数列{an}中,a1=1,Nnaaannn221解:原式化为1221nnaa,利用换元思想。利用上法得22nan例3、（猜证）已知数列{an}满足a1=1,.2311naannn（1）求a2,a3,a4(2)证明：213nna解：（1）a2＝4a3＝13a4=40（2）a1,a2,a3,a4由前可知，成立假设n=k时也成立，即213kkan=k+1时,2132133311kkkkkkaa也成立综上，213nna练习：设正数数列{an}前n项和Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有,2nnatts则通过归纳猜想得到Sn并证明？解：n=1时，得a1=t，n=2时，得a2=3t，n=3时，得a2=5t,猜测an=(2n-1)t证明：n=1,2,3时,已经成立假设n=k时也成立，即ak=(2k-1)t,则Sk＝k2tn=k+1时，,211kkatts2112)()(4kkatatkt1]t-1)[2(k1)t(2k0)14(2122121kkkatktaa也成立综上，an=(2n-1)t,Sn=n2t[点评]用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手例4、设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，满足关系NnnttSttSnn,2,033231（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn},使b1=1,bn=11nbf(n=2,3,4,…..)求{bn}的通项公式解(1)由2212111,1aaaSaStta3322ttaa33212又0323)2()1()2.......(3323)1.........(33231211nnnnnnattatSttStSttS......5,4,3,23321nttaann得证(2)11321132332)(nnnbbfbttttf31321321nnbn[点评]对an与Sn进行熟练转化解题练习:设数列{an}为正项数列,若对任意正整数n,an与2得等差中项等于其前n项和Sn与2的等比中项,求{an}的通项公式解:2281,222nnnnaSSa2404,21111naaaaaaSSannnnnnnnnn当24211naSan备用补充：求下列数列（1）nSnn11（2）xaxynxann前三项和,0,01（3）nnsaann2,0211答案212103332222111nnnnnnnnn或【课堂小结】求数列的通项方法1.由等差，等比定义，写出通项公式2.利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3.一阶递推qpaann1,我们通常将其化为AapAann1看成{bn}的等比数列4.利用换元思想5.先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6.对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题【作业布置】优化设计