高三数学课件

第一单元集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算一、选择题1．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A.A⊆CB．C⊆AC．A≠CD．A＝∅解析：A⊆A∪B＝B∩C⊆C，则A⊆C.答案：A2．设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，则集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析：∵|PP0|≤|PPi|，∴点P在P0Pi的垂直平分线将平面分成的靠近P0的区域内，即点P在如下图六边形ABCDEF内(包括边界)，故选D.答案：D3．设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1)∪(2，＋∞)C．[0,1]D．[0,2]解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]，B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：A4．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B二、填空题5．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则下图中阴影部分表示的集合是________．解析：图中阴影部分表示的集合是B∩(∁ZA)＝{2,4,6}．答案：{2,4,6}6．(原创题)已知集合U＝R，A＝{x|x2＋y24＝1}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)等于________．解析：A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0，2]，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由容斥原理知共有(26＋15＋13)－36＝18名同学同时参加两个小组，没有人参加三个小组，于是同时参加数学和化学小组的有18－(6＋4)＝8(人)．答案：8三、解答题8．设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x、y的值．解答：∵A∩B＝C＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B，－1∈B.即有x2－x＋1＝7⇒x＝－2或x＝3.①当x＝－2时，x＋4＝2，又2∈A，∴2∈A∩B，但2∉C，∴不满足A∩B＝C，∴x＝－2不符合题意．②当x＝3时，x＋4＝7，∴2y＝－1⇒y＝－12.因此，x＝3，y＝－12.9．已知集合A＝{x|y＝15－2x－x2},B＝{y|y＝a－2x－x2}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．解答：由15－2x－x2≥0，即(x＋5)(x－3)≤0得－5≤x≤3，∴A＝[－5,3]．又y＝a－2x－x2＝a＋1－(x＋1)2≤a＋1，∴B＝(－∞，a＋1]，A∩B＝A即A⊆B.∴a＋1≥3.即a≥2.因此实数a的取值范围是[2，＋∞)．10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B⊆A，求实数a的取值范围．解答：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，因此A的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}．又B⊆A，若B＝∅，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝4(2a＋2)0，解得a－1；若B＝{0}，－2(a＋1)＝0，a2－1＝0，解得a＝－1；若B＝{－4}，－2(a＋1)＝－8，a2－1＝16，无解；若B＝{0，－4}，－2(a＋1)＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；综上所述，实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.1．设集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠∅.(1)b的取值范围是________；(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是______．解析：(1)如下图所示，A∩B为图中阴影部分，若A∩B≠∅，则b≥2；(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，x＋2y在(0，b)处取得最大值，∴2b＝9，b＝92.答案：(1)b≥2(2)922．(2009·北京)已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与ajai两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝1，且a1＋a2＋…＋ana－11＋a－12＋…＋a－1n＝an；(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．解答：(1)由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，所以该数集不具有性质P.由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，所以该数集具有性质P.(2)证明：因为A＝{a1，a2，…，an}具有性质P，所以anan与anan中至少有一个属于A.由于1≤a1＜a2＜…＜an，所以anan＞an，故anan∉A.从而1＝anan∈A，因为1＝a1＜a2＜…＜an，所以akan＞an，故akan∉A(k＝2,3，…，n)．由A具有性质P可知anak∈A(k＝1,2,3，…，n)．又因为anan＜anan－1＜…＜ana2＜ana1，所以anan＝a1，anan－1＝a2，…，ana2＝an－1，ana1＝an.从而anan＋anan－1＋…＋ana2＋ana1＝a1＋a2＋…＋an－1＋an.故a1＋a2＋…＋ana－11＋a－12＋…＋a－1n＝an.(3)证明：由(2)知，当n＝5时，有a5a4＝a2，a5a3＝a3，即a5＝a2a4＝a23.因为1＝a1＜a2＜…＜a5，所以a3a4＞a2a4＝a5，故a3a4∉A.由A具有性质P可知a4a3∈A.由a2a4＝a23得a3a2＝a4a3∈A，且1＜a3a2＜a3，所以a4a3＝a3a2＝a2.故a5a4＝a4a3＝a3a2＝a2a1＝a2.即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1，公比为a2的等比数列．