高三文科数学一轮复习之不等式

1数学讲义之不等式【主干内容】1．不等式的基本性质：对称性：abba；传递性：若ab，bc，则ac；可加性：aba+cb+c；可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acbc2．不等式运算性质：同向相加：若ab，cd，则a+cb+d；异向相减：ba，dcdbca正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd；乘方法则：若ab0，n∈N+，则nnba；开方法则：若ab0，n∈N+，则nnba；倒数法则：若ab0，ab，则b1a13．基本不等式（或均值不等式）：利用完全平方式的性质，可得a²+b²≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为a²+b²≥2|ab|；或变形为|ab|≤2ba22；当a，b≥0时，a+b≥ab2或ab≤22ba.4．不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集，要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集。对于一元二次方程20(0)axbxca，设24bac，它的解按照000，，可分三种情况.相应二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集，列表如下:25．线性规划问题的解题方法和步骤:解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：①设出未知数，确定目标函数。②确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。③由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－bax＋bz,所以求z的最值可看成是求直线y＝－bax＋bz在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化）。④作平行线：将直线ax＋by＝0平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。⑤求出最优解：将④中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最值。6．绝对值不等式①｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。②|b||a||ba|||b||a||3【题型分类】题型一：不等关系与不等式〖例1〗(2007上海)已知,ab为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()A．22abB．22ababC．2211ababD．baab解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。〖例2〗若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是.解：(－3，3)〖例3〗已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．(1)证明：－21＜ab＜1；(2)若x21＋x1x2＋x22＝1，求x21－x1x2＋x22；(3)求|x21－x22|．解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b，∴a＞0，1＞abab1∴－121ab(2)（方法1）∵a＋b＋c＝0∴ax2＋bx＋c＝0有一根为1，不妨设x1＝1，则由1222121xxxx可得,0)1(22xx而)03(0212cbacacxxx，∴x2＝－1，∴3222121xxxx(方法2)∵acxxabxx2121,由222221221222121)(abacabxxxxxxxx＋1122abababa，∴,022abab∵,0,121abab∴2121222121xxxxxxx3)(21212212122abaxxxxx(3)由(2)知，1)1()(11222222221ababaacxx∴2121ab，∴4)1(412ab∴31)1(432ab∴3,02221xx题型二：一元二次不等式及其解法〖例1〗（2007福建）2x是260xx的什么条件……（）A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要4解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由260xx得：－2＜x＜3，－2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选Ａ.〖例2〗(2008江西文)不等式224122xx的解集为__________．解：原不等式变为224122xx，由指数函数的增减性，得：2241(3)(1)0xxxx[3,1]x，所以填：[3,1]〖例3〗已知集合2540Axxx|≤，2|220Bxxaxa≤，若BA，求实数a的取值范围．解：2|540|14Axxxxx≤≤≤．设2()22fxxaxa，它的图象是一条开口向上的抛物线．（1）若B，满足条件，此时0，即244(2)0aa，解得12a；（2）若B，设抛物线与x轴交点的横坐标为12xx，，且12xx≤，欲使BA，应有12xxxx|≤≤14xx|≤≤，结合二次函数的图象，得(1)0(4)021420ffa，，，，≥≥≤≤≥即22122048201444(2)0aaaaaaa，，，，≥≥≤≤≥解得1827a≤≤．综上可知a的取值范围是1817，．5题型三：简单的线性规划〖例1〗（2011届新高考联盟）设实数,xy满足不等式组30023xyxyx，则2xy的最小值为；解：23〖例2〗（2011杭二模）设实数,xy满足不等式组10,260,20.xyxyxyk且22xy的最小值为m，当925m时，实数k的取值范围是___________.解：[172,5]X+2y-5≥0〖例3〗（2011浙江）若实数x，y满足不等式组2x+y-7≥0,则3x+4y的最小值是x≥0,y≥0A．13B．15C．20D．28解：A〖例4〗（2011天津）设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4B．0C.43D．4解：选D.作出可行域，如图1－1所示．联立x＋y－4＝0，x－3y＋4＝0，解得x＝2，y＝2.当目标函数z＝3x－y移至(2,2)时，z＝3x－y有最大值4.6〖例4〗（2011湖北）直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解：画出不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)．因为直线2x＋y－10＝0过点A()5，0，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－43，故只有一个公共点()5，0.题型四：基本不等关系〖例1〗（2008浙江）已知则且,2,0,0baba（）A．21abB．21abC．222baD．322ba解：由0,0ab,且2ab，∴222224()22()abababab，∴222ab。〖例2〗（2011重庆）若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋2B．1＋3C．3D．4解：选C∵x＞2，∴f(x)＝x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－21x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时取等号．