高三文科数学一轮复习数列5-1

命题要点：1数列的通项公式′11年6考，′10年5考；2数列的概念及性质′11年1考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知数列，1，3，5，7，…，2n－1，…，则35是它的()．A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项解析35＝45＝2×23－1.答案B2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()．A．27B．28C．29D．30解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案B3．(2011·四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()．A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1解析a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.答案A4．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的()．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件解析当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，∵|an|≥an，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．答案B5．(2011·绵阳模拟)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()．A．103B.8658C.8258D．108解析根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2n2－292n＋3＝－2n－2942＋3＋8418，∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6．在函数f(x)＝x中，令x＝1,2,3，…，得到一个数列，则这个数列的前5项是________．答案1，2，3，2，57．数列1,2,4,7,11,16，…的一个通项公式an＝________.解析通过观察得知an＋1－an＝n，利用累差叠加法，可求出an＝1＋2＋…＋(n－1)＋1＝n2－n＋22.答案n2－n＋228．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．解析∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.答案8三、解答题(共23分)9．(11分)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．解(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.(2)∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.10．(★)(12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．解由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.【点评】解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系，求通项an的问题，步骤主要有：,第一步：令n＝1，由Sn＝fan求出a1；,第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点，由递推关系求通项；,第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论.如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示；,第四步：明确规范表述结论.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·惠州二模)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()．A．(5,5)B．(5,6)C．(5,7)D．(5,8)解析按规律分组第一组(1,1)第二组(1,2)，(2,1)第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)则前10组共有10×112＝55个有序实数对．第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．答案C2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是()．A．(0，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－3，＋∞)解析an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.答案D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·合肥三检)在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a16＝________.解析由题可知a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝12.答案124．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.解析由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.∴Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合an，∴an＝3，n＝1，2n，n≥2.答案3，n＝12n，n≥2三、解答题(共22分)5．(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.解由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝22，a5－a4＝23，…an－an－1＝2n－2(n≥2)，将以上各式左右两端分别相加，得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，所以an＝2n－1(n≥2)，又因为a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n≥1)．6．(12分)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝1nn≥2，23n＝1.(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1，∴cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋1＝－n－12n＋22n＋3n＋1＜0，∴{cn}是递减数列．