高三文科数学一轮复习数列5-2

命题要点：1等差数列的定义及通项公式′11年3考，′10年3考；2等差数列的性质′11年2考，′10年2考；3等差数列的前n项和′11年6考，′10年3考.A级(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·重庆)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()．A．12B．14C．16D．18解析设公差为d.则d＝a3－a2＝2.∴a1＝0，an＝2n－2∴a10＝2×10－2＝18.答案D2．(2011·温州模拟)若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为()．A．12B．18C．22D．44解析S11＝11a1＋a112＝11a2＋a102＝11×42＝22.答案C3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()．A．6B．7C．8D．9解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当Sn取得最小值时，n＝6.答案A4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9等于()．A．66B．99C．144D．297解析∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝9a1＋a92＝9a5＝99.答案B5．(2011·全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()．A．8B．7C．6D．5解析由a1＝1，公差d＝2得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·皖南八校三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a10＝1，则S19＝________.解析S19＝19a1＋a192＝19×2a102＝19a10＝19.答案197．共有n项的等差数列前4项和为26，后4项和为110，且所有项之和为187，则n＝________.解析∵a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴4(a1＋an)＝136，∴a1＋an＝34，∴n2·34＝187，∴n＝11.答案118．(2011·辽宁)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.解析由题意知：S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝2(a4＋a5)＝0，又a4＝1，∴a5＝－1.答案－1三、解答题(共23分)9．(11分)已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.(1)求通项an；(2)若Sn＝112，求n.解(1)设数列{an}的公差为d.则a10－a5＝5d＝25－15＝10，∴d＝2.∴an＝a5＋(n－5)d＝15＋(n－5)·2＝2n＋5.(2)由(1)得：Sn＝na1＋an2＝n7＋2n＋52＝n2＋6n.于是n2＋6n＝112，即n2＋6n－112＝0，解得n＝8或n＝－14(舍去)．故n＝8.10．(★)(12分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．思路分析第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．解(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.【点评】方程思想在数列中常常用到，如求通项an及Sn时，一般要建立首项a1与公差d或公比q的方程组.B级(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·深圳模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，S4S2＝4，则S6S4的值为()．A.94B.32C.53D．4解析由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由S4S2＝4得S4－S2S2＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，S6S4＝94.答案A2．数列{an}是等差数列，若a11a10＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝()．A．11B．17C．19D．21解析由题意，可知数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为a11a10＜－1，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.答案C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·苏锡常镇调研(二))两个等差数列的前n项和之比为5n＋102n－1，则它们的第7项之比为________．解析设两个数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则SnTn＝5n＋102n－1，而a7b7＝a1＋a13b1＋b13＝S13T13＝5×13＋102×13－1＝3.答案3∶14．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且an＋λ2n为等差数列，则λ的值是________．解析由an＋1＝2an＋2n－1，可得an＋12n＋1＝an2n＋12－12n＋1，则an＋1＋λ2n＋1－an＋λ2n＝an＋12n＋1－an2n－λ2n＋1＝12－12n＋1－λ2n＋1＝12－λ＋12n＋1，当λ的值是－1时，数列an－12n是公差为12的等差数列．答案－1三、解答题(共22分)5．(★)(12分)在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.(1)求an；(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．思路分析由已知条件可推知n应分奇数和偶数．解(1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44.∴an＋2－an＝2，又a2＋a1＝2－44，∴a2＝－19.同理得：a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以a1为首项、2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项、2为公差的等差数列．从而an＝n－24n为奇数，n－21n为偶数.(2)当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－n2·44＝n22－22n，故当n＝22时，Sn取得最小值－242.当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44]＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋n－12·(－44)＝－23＋n＋1n－12－22(n－1)＝n22－22n－32.故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.【点评】数列中的分类讨论一般有两种：一是对项数n的分类；二是对公比q的分类，解题时只要细心就可避免失误．6．(12分)已知等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝Snn＋c(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，则由a2a3＝45，a1＋a5＝18，得a1＋da1＋2d＝45，a1＋a1＋4d＝18.解得a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝Snn＋c＝n1＋4n－32n＋c＝2nn－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．