高三文科数学一轮复习之导数

数学讲义之导数及其应用【题型分类】选择题部分：〖例1〗（2011江西）若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)C【解析】方法一：令f′(x)＝2x－2－4x＝－＋x0，又∵f(x)的定义域为{x|x0}，∴(x－2)(x＋1)0(x0)，解得x2.故选C.方法二：令f′(x)＝2x－2－4x0，由函数的定义域可排除B、D，取x＝1代入验证，可排除A，故选C.〖例2〗（2011江西）曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1eA【解析】y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1.故选A.〖例3〗（2011山东）曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15C【解析】因为y′＝3x2，所以k＝y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，所以与y轴交点的纵坐标为9.〖例4〗（2011湖南）曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22B【解析】对y＝sinxsinx＋cosx－12求导得到y′＝＋－－＋2＝1＋2，当x＝π4，得到y′x＝π4＝122＋222＝12.〖例5〗（2011浙江）设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能．．．为y＝f(x)的图象是()图1－3D【解析】设F(x)＝f(x)ex，∴F′(x)＝exf′(x)＋exf(x)＝ex(2ax＋b＋ax2＋bx＋c)，又∵x＝－1为f(x)ex的一个极值点，∴F′(－1)＝e2(－a＋c)＝0，即a＝c，∴Δ＝b2－4ac＝b2－4a2，当Δ＝0时，b＝±2a，即对称轴所在直线方程为x＝±1；当Δ0时，b2a1，即对称轴在直线x＝－1的左边或在直线x＝1的右边．又f(－1)＝a－b＋c＝2a－b＜0，故D错，选D.简答题部分：〖例6〗（2011浙江）设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．【解答】(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x＞0，所以f′(x)＝a2x－2x＋a＝－－＋x.由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，只要＝a－1≥e－1，＝a2－e2＋ae≤e2.解得a＝e.〖例7〗（2011北京）已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【解答】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时．由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减；所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.〖例8〗（2011安徽）设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力．【解答】对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.〖例9〗（2011福建）已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(mM)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．【解答】(1)由f(e)＝2得b＝2.(2)由(1)可得f(x)＝－ax＋2＋axlnx.从而f′(x)＝alnx.因为a≠0，故：①当a0时，由f′(x)0得x1，由f′(x)0得0x1；②当a0时，由f′(x)0得0x1，由f′(x)0得x1.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.由(2)可得，当x在区间1e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1e1e，11(1，e)ef′(x)－0＋f(x)2－2e单调递减极小值1单调递增2又2－2e2，所以函数f(x)(x∈1e，e)的值域为[1,2]．据此可得，若m＝1，M＝2相对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点；并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)x∈1e，e都有公共点．〖例10〗（2010浙江）已知函数f（x）＝（x－a）（a－b）（a，b∈R，ab）．（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．【解析】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。（Ⅰ）解：当a=1,b=2时，因为f（x）=（x-1）（3x-5）．故f（2）=1．又f（2）＝0，所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2．（Ⅱ）证明：因为f（x）＝3（x－a）（x－23ab），由于ab．故a23ab．所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝23ab．不妨设x1＝a，x2＝23ab，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，故x3＝b．又因为23ab－a＝2（b－23ab），x4＝12（a＋23ab）＝23ab，所以a，23ab，23ab，b依次成等差数列，所以存在实数x4满足题意，且x4＝23ab．〖例11〗（2009浙江）已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).（I）若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调．．．，求a的取值范围.w.w.w.k.s【解析】（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2aaxaxxf又3)2()0(0)0(aafbf，解得0b，3a或1a（Ⅱ）函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于导函数)(xf在)1,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数)(xf在)1,1(上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(ff，即：0)]2()1(23)][2()1(23[aaaaaa整理得：0)1)(1)(5(2aaa，解得15a