高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷,数学科学学院《高等代数》课程试题(A卷)共2页第1页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带文具，满分为：100分.一.判断题(每题2分,共10分)1.线性空间V＝1V＋2V,则dim1V+dim2V=dimV.()2.特征向量的和仍是特征向量.()3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的.()4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间.()5.全体n阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间.()二(20分)已知1,1,1,1','A.求A的特征值和特征向量,并求一正交阵T使ATT'成对角形.三(20分)设M是数域P上形如1211231nnnaaaaaaAaaa的循环矩阵的集合，(1)证明:M是线性空间nnP的子空间.（2）证明:,,ABM有ABBA.（3）求M的维数和一组基.四(10分)设A为3阶复数矩阵,AE与012120200等价.，求A的若当标准形.题号一二三四五六七八总分得分授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------共2页第2页五(10分)证明：设A为n级矩阵,()gx是矩阵A的最小多项式,则多项式()fx以A为根的充要条件是()gx|()fx.六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,AB,是V上的线性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.七(10分)设2n阶矩阵ababAbaba,ab,求A的最小多项式.八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式,pxqx互素,且满足0pfqf(零变换)求证：,ker,kerVWSWpfSqf中国海洋大学XXXX-XXXX学年第X学期期末考试试卷学院《XXXXXXXX》课程试题(A卷)共页第页优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号------------------------------------------------装装装------------------------------------------------订订订------------------------------------------------线线线------------------------------------------------中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A卷)答案一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：A=1111111111111111，3|(4)EA｜，所以特征值为0，4（3重）.将特征值代入，求解线性方程组()0EAx，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：11111,,,)'2222＝(，211,,0,0)'22＝(-，3112,,,0)'666＝(-，43333,,,)'6662＝(-.所以正交阵11132626111326261230266130022T而40'00TAT.三.证：(1),.ABM验证,ABkAM即可.(2)令11010100110nEDE，D为循环阵，00nkkkEDE，(kE为k阶单位阵)则21,,,,nnDDDDE在P上线性无关.且21121nnnnAaEaDaDaD，令112(),nnfxaaxax有()AfD.BM，必P上1n次多项式()gx，使()BgD，反之亦真.()()()()ABfDgDgDfDBA(3)由上可知：21,,,,nEDDD是M的一组基，且dimMn.四.解：A的行列式因子为33()(2)D,21()()1DD.所以，不变因子为33()(2)d,21()()1dd，初等因子为3(2)，因而A的Jordan标准形为21212J五．证：:()()()()()()0fxgxqxfAgAqA：()0,()0fAgA设()()()()fxgxqxrx,()0rx或(())(())rxgx.所以0()()()()fAgAqArA＝,因而()0rA.因为()gx为最小多项式，所以()0rx.()|()gxfx.六．证：在B的核0V中任取一向量，则()()()()00BABAABABA所以A在B下的像是零，即0VA．即证明了0V是A的不变子空间．在B的值域VB中任取一向量B，则()()VABBAB.因此，VB也是A的不变子空间．综上，B的值域与核都是A的不变子空间．七．解：22()nEAab当0b时，由于AaEO，()Amxxa当0b时，由于22()AaEbEO，22()()Amxxab八．证：先证VWS，显然，WSV(),()pxqx互素，(),()[],uxvxpx使得()()()()1uxpxvxqx()()()()ufpfvfqf（单位变换）,()()()()Vpfufqfvf设111()(),()()()[()]0qfvfpfpfqfvfW222()(),()()()[()]0pfufqfqfpfufSVWSVWS再证：WS是直和,()0,()0()()()()0{0}WSpfqfufpfvfqfWSVWS