高等几何考试试卷

1浙江省2002年4月高等教育自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(每空2分，共20分)1._______，称为仿射不变性和仿射不变量.2.共线三点的简比是_______不变量.3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______.4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______.5.uu1222=0代表点_______的方程.6.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_______.7.对合由_______唯一决定.8.二阶曲线就是_______的全体.9.证明公理体系的和谐性常用_______法.10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线.二、计算题(每小题6分，共30分)1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。2.求仿射变换xxyyxy71424的不变点.3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-λx3=0与x2-x3=0(=12)所决定的.5.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.三、作图题(每小题6分，共18分)1.给定点A、B，作出点C，使(ABC)=4.作法：2.过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点.作法：23.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线作法：四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP,C1=AB×PQ三点共线.证明：2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′.证明：3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。证明(按以下程序作业)：第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在?第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?3浙江省2002年4月自考高等几何试题答案课程代码：10027一、填空题(每空2分，共20分)1.经过一切透视仿射不改变的性质和数量2.仿射3.仿射变换4.u1=05.(1，1，0)、(1，-1，0)6.-17.两对不同的对应元素8.两个射影线束对应直线交点9.模型10.分散二、计算题(每小题6分，共30分)1.解：化为齐次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得x1-2x2=0，x1=2x2或x2=121x∴无穷远点坐标为(2，1，0)2.解：由xxyyxy71424得610440xyxy解此方程，得不变点为(,)1223.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，则(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0)∴211010111得μ1=1又(2，1，-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)∴211515222得μ2=-32所求交比为12234.解：∵=12(1)4将x1-λx3=0,x2-x3=0中的，λ，代入(1)得xxxxxxxxxx2313131313122得x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程xxxxxxx12231332205.解：∵系数行列式212121231212120∴A31=54,A32=54,A33=-254,因此中心坐标ξ=-15,η=-15.由2X2+XY-3Y2=0，即(2X+3Y)(X-Y)=0.得2X+3Y=0X-Y=0.(1)将X=x+15Y=y+15代入(1)得2x+3y+1=0x-y=0即为所求的渐近线方程三、作图题(每小题6分，共18分)1.作法：∵(ABC)=ACBC41，∴ACBCBC31,即ABBC=3.在AB延长线上，作点C，使BC=13AB2.作法：(利用代沙格定理)：任取线束S，设束中两条直线交a于A，C，5交b于A′，C′；连直线PC，PC′分别交线束S的第三条直线于B，B′；直线BA和B′A′的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.注：1°文字，2°也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.3.作法：过P点任引两直线，使与Γ分别交于A、B及C、D，设Q=AC×BD，R=AD×BC，那么直线QR即为所求的极线.四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)1.证明：在△ABC及△PQR中，∵AP、BQ、CR共点S.∴对应边的交点C1=AB×PQ，B1=CA×RP,A1=BC×RQ三点共线2.证明：已知F为焦点，l，l′为由F所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.从而(FI，FJ，l，l′)=-1，所以l⊥l′3.第一步，∵任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形.第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.第三步：由A′作B′C′边上的高线A′S，∵△A′B′C′是正三角形，由对称性可知K′，N′在A′S上.同理J′、M′与P′L′也分别在过点B′、C′所作的高线上，因为△A′B′C′的三高线共点，所以六边形J′K′L′M′N′P′的三对顶点的连线共点.正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.