高等工程数学课后习题答案

第六章7、设X1，X2，…Xn为总体X~N（μ，σ2）的样本，求E[21)(xxnii]，D[21)(niixx]。解：E[21)(xxnii]=（n-1)E[11n21)(xxnii]=(n-1)σ2因为)1(~)(2212nXxxnii所以D[21)(niixx]=])([212niixxD=σ22（n-1)8、设X1，X2，…X5为总体X~N（0，1）的样本，（1）试确定常数c1、d1，使得)(~)()(2254312211nxxxdxxc并求出n；（2）试确定常数c2、d2，使得),(~)()(2543222212nmFxxxdxxc。解：（1）212)(1xxnSnii且总体为X~N（0，1），所以c1=21，d1=31因为2分布具有可加性，即若Xi~2（i=1，……k），且各样本相互独立，则)(~121kiikiinx，所以n=2。（2）因为)2,0(~21Nxx，)3,0(~)(543Nxxx，)1,0(~221Nxx，)1,0(~3543Nxxx且相互独立，所以221]2[xx+2543]3[xxx)2(~2因为)2(~22221xx，)1(~3)(22543xxx所以)1,2(~)(2)(325432221Fxxxxx，所以)1,2(,2322Fdc10、设X1，X2，…Xn，Xn+1为总体X~N（μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，)(11~,1221xxnsxnxinii试证：（1）)1(~~1ˆ1ntsxxnnTn（2）)1,0(~21nnNxxn（3）)1,0(~21nnNxx证明：（1）因为),(~),1(~~)1(),,(~212222NxnsnnNxn所以)1,0(~1),1,0(~121NnnxxnnNxxnn所以)1(~)1(~)1(1221ntnsnnnxxn，即)1(~~1ˆ1ntsxxnnTn（2）因为),(~),,(~212NxnNxn所以)1,0(~21nnNxxn（3）因为niiniixnxnnxnxxx21111111，011)(1)(1)11(22121niniiniinnnxEnxEnnxnxnnE2222221121)1()11(nnnnnxnxnnDninii所以)1,0(~21nnNxx15、设X1，X2，…Xn，1为总体X的样本，如果X具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。（1）0,00,),(2xxexx0（2）2,02,1),()2(xxexx0解：（1）2)(02dxxexXExx，所以的矩估计量是：x2ˆ似然函数nixinxininiiiexexxL12121)()(对数似然函数niiniixxnL11)ln(ln2)(ln02)(ln1niixnLdd，所以的极大似然估计是：x2ˆ（2）2)()2(2dxexXExx，所以的矩估计量是2ˆx似然函数：niiixnxniieexL12)2(1)(对数似然函数：niixnL12ln)(ln02)(ln12niixnLdd，所以的极大似然估计是：2ˆx18、设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…Xn，为X的样本（1）求k，使得统计量niixxk1221)(ˆˆ是2的无偏估计，（2）求c，使得统计量112121)(ˆˆniiixxc是2的无偏估计。解：（1）由于nkxAxnxkxxkniniii)()()(ˆ22211222而22222222)]([)()(,)(nXExDxEAE所以22222222)1()()()()ˆ(knnnkxEAEE所以11nk（2）21211212)()()]([)()(iiiiiiiixDxDxxExxDxxE所以222112)1()(ncxxEciii，故当11)1(22nnc时，2111)(iniixxc是2的无偏估计。21、设总体X服从二项分布B（N，P），X1，X2，…Xn，为其样本，求参数P的最小方差无偏估计。解：)),(ln()(22ppxfEpI此时X的概率函数为：2222)1(),(ln,1),(ln,)1(),(pxNpxppxfpxNpxppxfpppxfxNxxNC)1()1()1()()1()()1(]))1([()(22222222ppNpppNpXDppNpXEppNpppNxEpI所以P的无偏估计的方差下界是nNpp)1(，若以样本均值x作为P的估计，显然Nx是P的无偏估计，所以Nxpˆ是P的最小方差无偏估计。23、求X~N（μ，σ2），σ2已知，问需抽取容量n为多大的样本才能使μ得置信度为1的置信区间长度不大于L？解：μ的置信度为1的置信区间为)(21nx，区间长度为n212，由22121)2(2LnLn第七章025.0975.0-116845.289055.293.417)1(}{}{1.0)16(993.417)1()(:,3,,ˆ),1(~4.93}.{s9055.2:,9:,0~82975.0222212229055.200222112020012222122222222120217212202故）（，又得不真接受故有得为真拒绝）（为：根据题意可知，拒绝域为检验统计量即。和求犯两类错误的概率的拒绝域为）的样本，假设（为总体，，、设nSnkknSpHHpnkknSpHHpknSxxxxWnSnnSWHHNXXXXonoo10、从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含碳率（%）为：甲24.320.823.721.317.4乙18.216.920.216.718.2假定含碳率服从正态分布，且2221，问甲、乙两煤矿的含碳率有无显著差异（α=0.05）？的含碳率无明显差异。，即认为甲、乙两煤矿接受下知，在显著水平故由而由观测值可算得：或拒绝域：，检验法，得拒绝域为：采用：假设：解：依题意，要求检验0975.02/1975.0025.02/22212/122212/2221251222512121222112221001.06.976.3104.0,6.9)4,4()4,4(104.06.91)4,4(1)4,4()1,1(79.3977.1505.7~~)1,1(~~)1,1(~~977.1)(41~,505.7)(41~08.185.21:,HFFFFnmFSSnmFSSnmFSSXXiSXXiSXXFHH19、观察得两样本值如下：A20.5427.3329.1621.3424.4120.9829.9517.38B26.2725.0921.8523.3928.4122.6024.6413.62问两样本是否来自同一个总体（05.0）？解：检验假设：)()(:),()(:211210xFxFHxFxFH其中)(),(21xFxF分别为A、B的分布函数，因为0)8()(3)3,5min(),min(05.0SnSnn故接受0H,即来自同一个总体。22、某药治疗效果如下年龄疗效儿童成年老年in显著583832128一般284445117较差23181455jn10910091300解：题r=s=q=3,且91,100,109,55,117,128321321nnnnnn由此算得检验统计量的观测值为：91128)3009112832(100128)30010012838(109128)30010912858([300222210055)3001005518(10955)3001095523(91117)3009111745(100117)30010011744(109117)30010911728(222229155)300915514(2=300（0.0095+0.0017+0.004+0.017+0.0021+0.0085+0.0015+0.0020+0.0014）=14.31而31.14507.15)8()1)(1)(1(22295.01qsr所以接受0H，即与年龄有关。第八章6、设有线性模型且相互独立),0(~,,22232132132212111Nyyy其中221,,是未知参数，试求：（1）21,的最小二乘估计21ˆ,ˆ；（2）试导出假设0H：021的检验统计量。解：（1）记321yyyY，210121X，21，321则原线性模型可表示为42)(,0)(IDEXY从而2,1的最小二乘估计是323211211265105301)(ˆˆˆyyyyyYXXXTT所以)2(51ˆ),2(61ˆ2323211yyyyy习题5设有线性模型错误!未找到引用源。其中错误!未找到引用源。（1）试求错误!未找到引用源。（2）证明：错误!未找到引用源。充要条件是错误!未找到引用源。解（1）X=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。Y=X错误!未找到引用源。E(错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。令A=（错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。