高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学B（2）期末模拟试卷（一）一、选择题（10×3=30分）1.)1ln(412222yxyxz，其定义域为----------------------------------（A）（A）41),(22yxyx（B）41),(22yxyx（C）41),(22yxyx（D）41),(22yxyx2.设yxz，则dz--------------------------------------------------------------------------（D）（A）dyyxxdxxyy1ln（B）dyxdxyxyy1（C）xdyxxdxyxyylnln1（D）xdyxdxyxyyln13.方程1222yx在空间解析几何中表示---------------------------------------------（B）（A）椭圆（B）椭圆柱面（C）圆柱面（D）圆锥面4.设平面05432:zyx，直线41321:zyxL，则平面与直线L的关系为----------------------------------------------------------------------------------------------------（A）（A）L与垂直（B）L与斜交（C）L与平行（D）L落于内5.若函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数yxz2及xyz2在区域内连续，则必有（C）（A）xyzyxz22（B）xyzyxz22（C）xyzyxz22（D）xyzyzxzyxz226.若4),(22yxyxD，则dyxfD)(22可化为----------------------（B）（A）2020)(drrfd（B）2020)(rdrrfd（C）2040)(drrfd（D）2040)(rdrrfd7.下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解---------------------------------------------（C）（A）xecxy（B）xecyxc21（C）xcecyx21（D）)(21xecxcy8.下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D）（A）1)1(nn（B）11001nn（C）1100nnn（D）1100100nn9.若Dd4，其中axyaxD0,0:，则正数a---------------------（B）（A）322（B）2（C）342（D）23210.若幂级数1)1(nnnxa在3x处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（B）（A）1（B）2（C）3（D）4二、计算题（4×7=28分）1.设)3,2,1(a，)4,3,2(b，)2,1,1(c，求.)(cba解：)1,2,1()3221,4231,4332(ba52)1()1(211)(cba2.设zyxzyx32)32ln(2，求.yzxz解：令),,(zyxF)32()32ln(2zyxzyx则1322zyxFx2324zyxFy3326zyxFz故.1)(zyzxFFFFyzxz3.设),(vufz具有二阶连续偏导数，若)cos,(sinyxfz，求.,2yxzxz解：,cos1xfxzyxz2.cossin)sin(cos)(1212xfyyxfxzy4.解微分方程.2xexydxdyx解：xxeyxdxdy1xxexQxxP)(,1)(xdxxPln)(，xxxdxxPedxexedxexQln)()(故通解为)(Cexyx三、（9分）设抛物线xy42与直线1xy所围成的平面区域为D，求（1）D的面积；（2）D绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。解：：由xyxy412)2,1(61)21(10dxxxSD3]4)1[(102dxxxVx四、（8分）设202sinyydxxxdyI，（1）改变积分次序；（2）计算I的值。解：202sinyydxxxdyI21)2(sinsin2022022dxxxxxdyxxdxxx五、（8分）求1)1(11nxnnn的收敛域及和函数。解：解：xxnxnnnnnn11)1(111)1(1)1()1(lim故12)1(121nxnnn的收敛半径为1易知当1x时，1)1(11nxnnn收敛；当1x时，1)1(11nxnnn发散因此1)1(11nxnnn在]1,1(收敛。六、（8分）设函数)(xfy满足)0(02mymy，求证：222)]([)]([)(xfmxfxF与x无关。证明：由mxCmxCymymysincos)0(0212则)sincos(12mxCmxCmy故222)]([)]([)(xfmxfxF2222)(mmym212)sincos(mxCmxC)0()(422214CCmCCm七、（9分）设生产某种产品必须投入两种要素,1x和2x分别为两种要素的投入量,产出量为3223112xxQ,若两种要素的价格之比为421pp,试问:当产出量为12时,两种要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解:．该题为求费用函数221121),(xpxpxxC在条件122322311xx下的最小值问题.为此作拉格朗日函数)212(),,(3223112211xxxpxpxxL令1220340323223113123112322321121xxxxpLxxpLxx122832231112xxxx24321xx，即两种要素各投入3,24可使得投入总费用最小.