高等数学(下)期末试题

高等数学（下）期末试题参考答案一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。1、),(00yxfx和),(00yxfy存在是函数),(yxf在点),(00yx连续的（）。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、设)ln(222zyxu，则)(ugraddiv＝（）。A.2221zyx；B.2222zyx；C.2222)(1zyx；D.2222)(2zyx3、设D是xoy面上以)1,1(),1,1(),1,1(为顶点的三角形区域，1D是D中在第一象限的部分，则积分Ddyxyx)sincos(33＝（）A.dyxD1sincos23；B.132Dydx；C.1)sincos(433Ddyxyx；D.04、设为曲面)0(222RRyx上的10z部分，则dSyxeyx)sin(2222＝（）。A.0；B.2sinReRR；C.R4；D.2sinRe2RR5、设二阶线性非齐次方程)()()(xfyxqyxpy有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为（）。A.xxeCeCx221；B.xxeCeCxC2321；C.)()(221xxxexCeeCx；D.)()(2221xeCeeCxxx二、填空题（每题３分，总计１５分）。1、函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(处取得极值，则常数a＝______。2、若曲面2132222zyx的切平面平行于平面02564zyx，则切点坐标为______________________。3、二重积分dxeydyyx1103的值为______________。4、设空间立体所占闭区域为0,0,1yxzyx，上任一点的体密度是zyxzyx),,(，则此空间立体的质量为____________。5、微分方程2yxyy的通解为_____________________。三、计算题（每题７分，总计３５分）。1、已知22),,(zxyzyxf及点)1,1,2(A、)1,1,3(B，求函数),,(zyxf在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。2、设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxz2。3、将函数223)(xxxf展开成x的幂级数，并指出收敛域。4、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy。5、计算Lzyxds222，其中L是螺旋线tztytx,sin8,cos8对应20t的弧段。四、计算题（每题７分，总计３５分）。1、设0a，计算极限)321(lim32nnanaaa的值。2、计算dvz，其中由不等式22yxz及41222zyx所确定。3、计算2222)(zyxdxdyazaxdydz，其中为下半球面222yxaz的下侧，a为大于零的常数。4、将函数)11()(xxxf展开成以2为周期的傅立叶级数。5、设函数)(xf具有连续导数并且满足3)1(f，计算曲线积分dyyxfxdxxxfyL))(())((22的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。五、本题５分。对0p，讨论级数11)1(nnnpn的敛散性。一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ二、填空题（每题３分，总计１５分）。1、-5；2、)2,2,1(；3、)1(611e；4、81；5、Cyyx三、计算题（每题７分，总计３５分）。1、已知22),,(zxyzyxf及点)1,1,2(A、)1,1,3(B，求函数),,(zyxf在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。解：由条件得zzfxyfyxf2,2,2}cos,cos,{cos}32,32,31{}2,2,1{0ABAB32cos,32cos,31cos从而)1,1,2(coscoscosAzfyfxflf=310点A的梯度方向是}2,4,2{}2,2,2{AAzxyfgradl所以方向导数的最大值是6224242222lf2、设),(xyyxfz具有连续的二阶偏导数，求yxz2。解：2121,xffyzyffxz2221211222211211221212)()()(fxyffyxffxffyxfffyfyyfyffyxzyyxz3、将函数223)(xxxf展开成x的幂级数，并指出收敛域。解：nnnnnnnnnxxxxxxxxxxf010022)1(12)1(212/112111211123)(收敛域为)1,1(。4、设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy。解：由条件知)(xyy满足1)0(,1)0(yy由特征方程2,1023212rrrr,对应齐次方程的通解xxeCeCY221设特解为xAxey*，其中A为待定常数，代入方程，得xxeyA22*从而得通解xxxxeeCeCy2221,代入初始条件得0,121CC最后得xexxy)21()(5、计算Lzyxds222，其中L是螺旋线tztytx,sin8,cos8对应20t的弧段。解：dtdtzyxdsttt652228658arctan865865202022222ttdtzyxdsL四、计算题（每题７分，总计３５分）。1、设0a，计算极限)321(lim32nnanaaa的值。解：设)11()(1xnxxsnn，则原问题转化为求和函数在ax1处的值而2111111)1(1)()()()(xxxxxxxxxxxxxnxxsnnnnnnnn故所求值为2)1(1aaas2、计算dvz，其中由不等式22yxz及41222zyx所确定。解：8154122sin2cossin2sincos21440402132124020rddrrddrrrdddvz3、计算2222)(zyxdxdyazaxdydz，其中为下半球面222yxaz的下侧，a为大于零的常数。解：取xoy为xoy面上的圆盘222ayx，方向取上侧，则2230222022222222323sincos21)32(1)()(1)(1)(aaaadrrddadxdyadvazadxdyazaxdydzdxdyazaxdydzadxdyazaxdydzazyxdxdyazaxdydzaDxyxoyxoy34440322121sincos41aaaaadrrdaa4、将函数)11()(xxxf展开成以2为周期的傅立叶级数。解：所给函数在]1,1[上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在]1,1[内收敛于函数本身。12100xdxa，22101)1(2cos2nxdxnxann，),2,1(0nbn)11(cos1)1(221)(122xxnnxfnn5、设函数)(xf具有连续导数并且满足3)1(f，计算曲线积分dyyxfxdxxxfyL))(())((22的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。解：由条件有222222122)()(fxfxfffxxfxxyfyyxfxx设1fz，则得2123112Cxxzfxzxz代入条件得xxfC3)(0，从而原积分变为LLLdxxxdxxxxdyxydxxdyyxdxxyxdyyxfxdxxxfy1812273)3(939)3()9())(())((21322132323222五、本题５分。设1),(22yxyxD，),(yxu与),(yxv在D上具有一阶连续偏导数，jyvxviyuxuGjyxuiyxvF,),(),(，且在D的边界曲线L（正向）上有yyxvyxu),(,1),(，证明dGFD证明：dGFDDyxyxduvvvuu])()[(Dyyxxduvvuuvvu)]()[(Dduvyuvx)]()([ydyydxuvdyuvdxLLDd