高等数学-第1章函数与极限-1-3极限存在准则

341.5极限存在准则两个重要极限教学目的：知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。教学重点：极限存在准则,两个重要极限教学内容：1.4.1极限存在准则1夹逼准则定理1.4.1若数列nx，ny和nz满足(1)nnnxyz,0nN;(2)limlimnnnnxza则limnnya。证明因limnnxa，则0，1N，1nN时有nxa，即naxa(1.4.1)又limnnza，对上述，2N，2nN时有nza，即naza(1.4.2)取012max{,,}NNNN，nN时(1.4.1)式与(1.4.2)式同时成立。又0nN时,nnnxyz，于是nN时nnnaxyza即nya从而limnnya.例1证明0a时，lim1nna证明1a时，设1nnar，0nr(1,2,)n。由二项式定理有，2(1)(1)112nnnnnnnnnarnrrrnr于是0narn又lim0nan因此，由夹逼准则，lim0nnr.于是lim1nna351a时，11a，由上述结果有，1lim1nna，因此，1limlim11nnnnaa1a时，结论显然成立，综上所述，0a时，lim1nna。例2求11212lim()max{,,,}nnnnnnnmmnaaaaaa，其中0(1,2,)iaim解设12max{,,,}naaaa，于是12nnnnnaaaaam由例1可知，lim1nnm，利用夹逼准则，得11212lim()max{,,,}nnnnnnnmmnaaaaaaa.定理1.4.2设00lim()lim()xxxxgxhxA，且0，00(,)xUx，有()()()gxfxhx，则0lim()xxfxA.例3证明0limcos1xx证明因22201cos2sin2222xxxx，而20lim02xx.由定理1.4.2，0limcos1xx。2单调有界准则定理1.4.3单调有界数列必有极限。定理1.4.4若函数()fx在(,)a内单调增加（减少）且有上界（下界），则lim()xfx存在；若存在0，00(,)xxx时，函数()fx内单调增加（减少）且有上界（下界），则0lim()xxfx存在.例4设110x，16nnxx(1,2,)n，证明数列{}nx收敛，并求它的极限.证明由110x，2166104xx知，12xx.设对某个自然数k有1kkxx，则有11266kkkkxxxx由数学归纳法知，对一切自然数n都有，1nnxx，即数列{}nx单调减少。又360nx(1,2,)n，因此数列{}nx有下界。由极限存在准则，数列{}nx收敛。设limnnxa，对16nnxx两边取极限，得6aa解此方程，得3a，2a，但因0nx，所以lim3nnx.3海涅定理定理1.4.5(海涅定理)极限0lim()xxfx存在且等于A的充分必要条件是对于任意收敛于0x的数列｛nx｝（0nxx），恒有lim()nnfxA利用海涅定理证明函数极限不存在。只要找出两个数列{}nx，{}ny都收敛于0x，且0nxx，0nyx（nN），但{()}nfx，{()}nfy收敛于不同的极限，或其中一个不收敛。例5证明01limsinxx不存在。证明取1nxn，122nyn，limlim0nnnnxy，且0nx，0ny，而1limsinlimsin0nnnnx，1limsinlimsin12nnny，故01limsinxx不存在(如图1.4.2)。4.柯西存在准则定理1.4.6数列{}nx收敛的充分必要条件是0，存在自然数N，使得mnN时，有nmxx1.4.2两个重要极限10sinlim1xxx证明如图,在单位圆内，设圆心角AOBx02x，比较AOB，扇形AOB和AOC的面积的大小，得sintanxxxADCO1Bx37即sincos1xxx(1.4.3)由于cosx、sinxx都为偶函数，所以(1.4.3)式对于02x也成立.因0limcos1xx，所以由夹逼准则，0sinlim1xxx.21lim(1)xxex证明先证明1lim(1)nnen记1(1)nnxn，下面证明数列{}nx单调有界。由1212nnnaaaaaan（0,1,2,,iain）得1111(1)111(1)1111nnnnnnnxxnnn因此，数列{}nx单调增加。由二项式定理得，231(1)1(1)(2)1!10(1)11()()()2!3!!nnnnnnnnnxnnnnn111112!3!!n2111111222n11332n数列{}nx有界。因此，数列{}nx收敛，记1lim(1)nnen，它是一个无理数。下面证明1lim(1)xxex1x时，有[][]1xxx，于是[][]1111111[]1[]xxxxxx而[]1[]111lim1lim1lim1[][][]xxxxxexxx38[][]11111lim1lim1lim1[]1[]1[]1xxxxxexxx由夹逼准则，1lim(1)xxex.再证明1lim(1)xxex.令tx，于是当x时，t，由此得111111lim(1)lim(1)lim()lim(1)lim(1)11111xttttxtttttexttttt.因此，1lim(1)xxex。公式1lim(1)xxex还可以表示为10lim(1)xxxe.这是因为：设1tx，0x时，t.于是101lim(1)lim(1)txxtxet。例6求下列函数的极限：(1)0tanlimxxx；(2)201coslimxxx；(3)1lim(1)tan2xxx.解(1)0000tansinsinlimlimcoslimlimcos1xxxxxxxxxxxx(2)22220002sinsin1cos1122limlimlim222xxxxxxxxx(3)令1tx，1x时，0t.于是100lim(1)tanlimcotlimcos222sin2xttxtttxtt0222limcos2sin2tttt.作业1.求下列函数的极限:39(1)1lim(1)xxx；(3)10lim(13)xxx；(5)sinlimxnxxn；(6)1cot2lim1xxx；2.已知lim()9xxxaxa，求常数a。3．求下列数列的极限：222111lim12nnnnn。4设112,2,1,2,...nnxxxn。证明数列nx的极限存在，并求此极限。