高等数学1期中考试试题参考答案

第1页共4页考试日期：2014年11月交通大学城市学院2013----2014学年第一学期期中考试《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______班级：_____学号：________姓名：________题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题（每题2分，共16分）1、下列极限存在的是…………………………………………………………(C)（A）xx21lim（B）1310limxx（C）xex1lim（D）xx3lim2、0)(limxfax，)(limxgax，则下列不正确的是…………………………(B)（A）)]()([limxgxfax（B）)]()([limxgxfax（C）0][lim)()(1xgxfax（D）0)](/)(lim[xgxfax3、,0)(limAxfax,0)(limBxgax则下列正确的是…………………………(D)（A）f(x)0,（B）g(x)0,（C）f(x)g(x)（D）存在a的一个空心邻域，使f(x)g(x)0。4、已知，,2lim)(0xxfx则)2x(sin3x0limfx………………………………………………(C)（A）2/3,（B）3/2（C）3/4（D）不能确定。5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（C）（A）有最大值（B）有界（C）有零点（D）有最小值6、下列对于函数y=xcosx的叙述，正确的一个是………………………………………(D)（A）有界，且是当x趋于无穷时的无穷大，（B）有界，但不是当x趋于无穷时的无穷大，（C）无界，且是当x趋于无穷时的无穷大，（D）无界，但不是当x趋于无穷时的无穷大。7、下列叙述正确的一个是……………………………………………………………（D）（A）函数在某点有极限，则函数必有界；（B）若数列有界，则数列必有极限；（C）若,2lim)2()2(0hhfhfh则函数在0处必有导数，（D）函数在0x可导，则在0x必连续。8、当0x时，下列不与2x等价的无穷小量为…………………………………（A）（A）)1(cosx（B）2arcsinx（C）)1ln(2x(D)12xe本题得分第2页共4页二、填空题（每题2分，共20分）1、xxf21arcsin)(的连续区间是_____[0,1/2]______________2、已知5lim112xabxxx，则a=___6_____b=____-7___________3、)sinx1(1y的间断点为___x不等于2kπ+π/_2____它们是______无穷间断点（填类型）4、33-)sin(limxxx_____1/(3π2_)_______________5、xxxx1)(lim23206_____________________6、,)1(lim2exxkx则k=______2_____________7、若函数00arcsin1)(1xxaxxfx在x=0连续，则a=_____1+π/2______________8、设0)(0xf，3)('0xf，则xxxfx)(00lim____3_____________________9、2)('0xf，则hhxfh)2(00lim______12___________________10、已知函数xxxfcos)(2，则dy=_____(2xcosx-x2sinx)dx___________三、求导数（每题5分，共20分）（1）221/arcsin2)(arcsinxxxy,（2）3ln/)ln21()'('2xxyxx（3）)2)(1()2)(1(4422xxxxy,]ln[ln)2)(1()2)(1(214422xxxxy]['221221)2)(1()2)(1(4343224422xxxxxxxxxxxxy（4）xxysin2)1()1ln(sinln2xxy本题得分本题得分第3页共4页)]1/(sin2)1ln([cos)1('22sin2xxxxxxyx四、证明题（每题6分，共12分）1、对数列nx，若axkk12limaxkk12lim，证明axnnlim证明：由axkk12lim得，,0存在K1，当kK1时，||12axk.由axkk2lim得，存在K2，当kK2时，||2axk.取212,12maxKKN，当nN时，||axn所以axnnlim2、如果函数)(xf为偶函数，且)0('f存在，证明0)0('f证明：因为)0('lim)0()(0fhfhfh，所以)0('lim)0()(0fhfhfh函数)(xf为偶函数，)0('lim)0()(0fhfhfh所以，)0(')0('ff得：0)0('f五、解答题（每题8分，共32分）1、求方程1sinyxexy中的隐函数)(xyy的导数。解：对上述方程两边求导，得0)'1()'(cosyexyyxyyxxyxexyyeyxyxycoscos'本题得分本题得分第4页共4页2、已知参数方程)1ln(arctan2tytx，求''y解：tydtdxdtdy2'//)1(2''2//)2(tydtdxdttd3、讨论函数21limnxnxny的连续性，若存在间断点，判断其类型。解：000lim112xxyxnxnxn存在间断点0，由于xx10lim所以，0是无穷间断点。4、当，取何值时，函数0sin0cos)(21xxxxxfxa在x=0处连续；何时在x=0处可导？解：函数在x=0处连续，则函数)cos(lim10xxx存在，当0时，)cos(lim10xxx=0，而当0时，)cos(lim10xxx不存在。函数在x=0处连续，则函数在x=0处左连续，)sin(lim20xx所以0，0时，函数在x=0处连续。欲函数在x=0处可导，则必在x=0处连续。所以0，0。此时f(0)=0，欲xxxxxxx110cos0coslimlim1存在，则1，此时，)0('0)0('ff,所以1，0时，函数在x=0处可导。