高等数学A(一)期末试题及答案

第1页，共2页济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A卷）课程高等数学A（一）考试时间2013年12月31日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………一、填空题（每小题2分，共10分）(1)xxx)11(lime1．(2)设)tan(2xxy，则dydxxxx)(sec)21(22．(3)曲线36223xxxy的拐点是)6,1(.(4)10211dxx2.(5)121dxx1．二、选择题（每小题2分，共10分）(1)xxx2sinlim(A)(A)0.(B)1.(C)2.(D)21.(2)设xxxftan)(，则0x是函数)(xf的(A)(A)可去间断点.(B)跳跃间断点.(C)第二类间断点.(D)连续点.(3)当0x时，下列变量中与x是等价无穷小的是(B)(A)x3sin.(B)1xe.(C)xcos.(D)x1.(4)函数)(xf在0x点可导是它在该点连续的(C)(A)充分必要条件.(B)必要条件.(C)充分条件.(D)以上都不对.(5)设)(xf在),(内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A))()(xfdxxf.(B)Cxfdxxfdxd)()(.(C))0()())((0fxfdttfx.(D))())((0xfdttfx.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分）(1)213lim21xxxxx.解：)13)(2()13)(13(lim213lim2121xxxxxxxxxxxxxx62)13)(2(1lim2)13)(2)(1(22lim11xxxxxxxxxx第2页，共2页(2)22)2(sinlnlimxxx.解：)2(4sincoslim)2(sinlnlim222xxxxxxx812sinlim41sin12coslim4122xxxxxx(3)设函数)(xyy由方程0lnyxyy所确定，求：dxdy和22dxyd.两边对x求导得：01)1(lnyyy所以得;yyln21yyln21四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1)dxxx)2sin(2.解：Cxxdxdxxx)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222(2)dxx21.解：令txsin，2||t，则：tdtdxx22cos1CtttCttdttcossin2122sin412)2cos1(21Cxxx2121arcsin21(3)10arctanxdx.解：10210101]arctan[arctandxxxxxxdx2ln214)]1ln(21[4102x(4)10dxex.解：令xt，则2tx，tdtdx2，10102dttedxetx22][22101010dtetetdettt五、综合题（每小题10分，共20分）(1)设函数)(xyy由参数方程22031tudueyttx所确定，求函数)(xyy的极值.解：23124ttedxdyt，令0dxdy，得0t，代入得：1x。当1x时，0t，所以0dxdy；当1x时，0t，所以0dxdy。函数)(xyy的极大值为0)1(y。第3页，共2页(2)过点)0,0(O做曲线L：xey的切线，切点为A；由曲线L，直线OA和y轴所围成的图形记为D.求：(Ⅰ)OA的直线方程；(Ⅱ)D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.解：(Ⅰ)设A点的横坐标为0x。由于xey，所以000xxexe，即10x，A点的坐标为),1(e，OA的直线方程为exy。(Ⅱ)26)(210222edxxeeVx六、证明题（10分）设函数)(xf在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且0)0(f，1)1(f.证明：(Ⅰ)存在一点)1,0(0x，使得21)(0xf；(Ⅱ)在)1,0(内存在两点1x和2x，使得2)(1)(121xfxf.证：(Ⅰ)由于)(xf在闭区间]1,0[上连续，且)1(21)0(ff，有介值定理，存在一点)1,0(0x，使得21)(0xf。(Ⅱ)由于)(xf在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，则在),0(0x内存在一点1x，使得0001210)0()()(xxfxfxf；又在)1,(0x内存在一点2x，使得)1(211)()1()(0002xxxffxf。所以：2)1(22)(1)(10021xxxfxf