高等数学习题09答案(复旦大学)

194习题九1.求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点π4t;解：2sincos,cos2,2cossinxattybtzctt曲线在点π4t的切向量为πππ,,,0,444Txyzac当π4t时，,,222abcxyz切线方程为2220abcxyzac.法平面方程为0()0.222abcacxyz即22022acaxcz.5.求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1)z=x2+y2,点M0(1,2,5);解：（1）令22uxyz，则000002,4,1.22yxmzmmmmuuuyx故曲线在点M0(1,2,5)的法向量为2,4,1n故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为z-5=2(x-1)+4(y-2).即2x+4y-z=5.法线方程为125241xyz8.求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343的方向导数。解：22,2,3,uuuyyzxyxzzxyxyz故(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)coscoscosuuuuylxz22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscoscos5.(2)()(3)343xyxzyyzzxy1959.求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。解：{4,3,12},13.ABABAB的方向余弦为4312cos,cos,cos131313又(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2,10,5uuuyzxzxyxyz故4312982105.13131313ul11.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2);解：（1）解方程组22360360xyzxxzyy得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－360，且A0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=360，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=360，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－360，且A0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.14.求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为2(1)3xyzd,即求其在条件z=x2+y2下的最值。设F（x,y,z）=222(1)()3xyzzxy解方程组222(1)2032(1)2032(1)03xyzxyzFxxyzFyxyzFzxy得12xyz故所求最短距离为132.63d