高等数学习题及答案解析

高等数学习题及答案一、填空题（每小题3分，共21分）1．设babyaxyxf,,),(其中为常数，则)),(,(yxfxyf.ybabxaxy22．函数22yxz在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(的方向的方向导数是.3213．设有向量场kxzjxyiyA2，则Adiv.x24．二重积分2010),(xdyyxfdx交换积分次序后为.110),(ydxyxfdy5．幂级数13)3(nnnnx的收敛域为.[0,6)6．已知yxez2，而3,sintytx，则dtdz3sin22(cos6)ttett7．三重积分dv3，其中是由3,0,1,0,1,0zzyyxx所围成的立体.二、计算题（一）（每小题7分，共21分）1．设baba与,5,2的夹角为32，向量banbam317与相互垂直，求.解：由251732cos52)51(1217)51(3022bbaanm得.402．求过点)1,2,1(且与直线04230532zyxzyx垂直的平面方程.解：直线的方向向量为11,7,5213132kjis取平面的法向量为sn，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5zyx即.081175zyx3．曲面32xyz上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{S？并求出此法线方程.解：设曲面在点),,(zyxM处的法线平行于s，令32xyzF则在点),,(zyxM处曲面的法向量为.182,}.,,{},,{xyxzyzsnxyxzyzFFFnzyx故有由于由此解得yzyx8,4，代入曲面方程，解得),,(zyxM的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线方程为188124zyx三、计算题（二）（每小题7分，共21分）1．设)(xyxFxyz，其中)(uF为可导函数，求.yzyxzx解：),()(uFxyuFyxz)(uFxyzxyzxFxyyzyxzx22．将函数xedxdxfx1)(展成x的幂级数，并求1)!1(nnn的和.解：1!1!2111nxxnxxe并在),(内收敛。),(,)!1(!1!32!21)(112xxnnxnnxxfnnn11)1()!1(11xxnxefnn3．求微分方程dxdyyyy,)(12的通解.解：令pypy则,，原方程化为211122)cos(ln)tan()tan(11ccxdxcxycxpdxpdppp四、计算题（三）（每小题8分，共24分）1．求曲线积分LdyxxdxyI)3(33的值，其中)0(222RRyxL为的正向.解：记L所围成的区域为D，利用格林公式得RDLdddxdyyxdyxxdxyI02202233)1(3)333()3()211(322RR2．求微分方程xxeyy4的通解.解：对应的齐次方程为0yy，它的特征方程为012r，其根为1,121rr，该齐次方程的通为xxeCeCY21。因1是特征方程的单根，所以设原方程的一个特为xebaxxy)(代入原方程得1,1ba，于是，求得xexxy)1(原方程的通解为xxxexxeCeCy)1(213．计算曲面积分dxdyyxeIz22，其中为锥面22yxz与平面2,1zz所围立体表面的外侧.解：记1:,:,2:32221zyxzz则.4220220222211ededdxdyyxedxdyyxeIxyDzz).(22212022222222eededdxdyyxedxdyyxeIxyDyxz.210202233ededdxdyyxeIz故.22321eIIII五、应用题（共7分）设一矩形的周长为2,现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及柱体体积.解：设矩形的两边长分别为.,yx由题设1yx，不妨设矩形绕长度为y的一边旋转，则圆柱体体积为.2yxV作拉氏函数)1(),(2yxyxyxF解方程组010022yxFxFxyFyx，得驻点).31,32(所以最大圆柱柱体体积为.27431)32(2对应的矩形面积为.92六、证明题（共6分）设nnaa,0单调减少趋于零，证明：级数111)1(nnnnaa收敛.证明：因nnaa,0单调减少，所以1nnaa也单调减少又02lim,20111nnnnnnnaaaaaa所以0lim1nnnaa，则交错级数判别法知111)1(nnnnaa收敛。