高等数学俯视中学数学落000

第1页（共9页）高等数学俯视中学数学作者：罗森丽指导老师：王保军(南阳师范学院数学与统计学院2003级02班)摘要从大学所学的微积分，高等代数，空间解析几何等方面着手联系中学的数学知识，把这些高等数学的知识与中学现行教材结合起来，以几个例子入手来说明问题，以便深刻理解中学数学知识，提高学生学习这些内容的情趣，并学以致用.关键词微积分；不等式；高等代数；指导；应用在高等数学学习中，如何把高等数学知识应用于中学数学，用高等数学的思想理解中学数学，对师范专业的学生有特殊的意义。有许多大学生，别是师范类大学生，一入学就发现，他们面临的问题好像同中学里学过的东西一点联系也没有，当然也很快就完全忘了中学所学的东西；但是毕业以后当了中学老师，他们又忽然发现，要按传统的教法来教中学内容，由于缺乏指导他们又很难辨明当前的中学教学内容与所学大学课程之间的联系.数学专业的大学生学到的专业知识是不少的，但许多重要的以及在中学任教中用得到的部分却往往被忽视了，如果我们在学习高等数学的过程中，注重高等数学对中学数学的渗透，注重高等数学对初等数学的直接指导作用，总之，我们注重初等数学与高等数学的融合，我们就一定能够克服上述弊端，就能平静地实现中学学习——大学学习——中学教学之间的过渡.一微积分在解决中学数学问题中的应用初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学第2页（共9页）的教学工作，是一个值得研究的课题。微积分在不等式的证明，求函数极限，单调区间，曲线的切线，方程根的讨论，研究函数的性态与作图及解决实际问题等方面，不仅可以化繁为简，而且能使问题的研究更为深入全面。1不等式的证明例1证明：当0ab时，lnbabbabaa证明：设lnyx,它在区间a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，所以a,b，使得lnln1,lnlnbabababa由于111ba，故babababa，即：lnbabbabaa例2证明不等式1xex和212xxex(x0) .证明：设()1xfxex，则'()10xfxe（x0）所以()fx递增.又(0)0f，故()1xfxex0即xe1+x再设2()12xxgxex则'()1xgxex由上面已证得的结果：xe1+x知'()0gx(x0)(x0)第3页（共9页）所以()gx递增.因(0)0g，所以()0gx，即：212xxex在某邻域内，函数取得极大值或极小值，利用极值的特点也可以证明不等式，如例3：例3设01,1xp，证明：11(1)12pppxx证明：设()(1)ppfxxx，求导可得：11'()[(1)]ppfxpxx令'()0fx得11(1)ppxx也即：1xx可求得12x.在(0,1)内，可能成为极值的函数值是11111()()()2222pppf，(0)(1)1ff，因为1p，所以1112p.将1(0),(),(1)2fff进行比较，得：11(1)12pppxx.设()fx是定义在a,b上的函数，若对任意的,xyab，和任意(0,1)，都有(1)()(1)fxyfxfy［］（）成立，则称()fx是a,b上的凸函数．反之，总有(1)fxy［］fx（）＋(1)fy（），则称()fx是a,b上的凹函数．如果上述不等式均改为严格不等式，则相应的函数分别称为严格凸函数和严格凹函数．例4（Holder不等式）设,0,1,2,,iiabin.有11111nnnpqpqiiiiiiiabab其中110,0,1pqpq第4页（共9页）证明：令(),1,0,pfxxpx因为''2()(1)0pfxppx，由判定定理知：(),1,0,pfxxpx在(0,)上是严格凸函数，由Jensen不等式，得到：11pnnpiiiiiixx今设12,,,nuuu为非负实数，且10niiu，在上述表达式中以1iniiuu代替i，得到：1111ppnnnpiiiiiiiiuxuxu由题设111pq可知1pqp令qiiub，1qiiixab，不妨设10niib，代入上式便得到Holder不等式：11111nnnpqpqiiiiiiiabab.特别地，取2pq时就可得到Cauchy不等式：22111nnniiiiiiiabab.2函数的极值，单调区间问题由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可以很方便地第5页（共9页）求出函数的单调区间和极值.例5已知函数2()axfxxe，其中0,ae为自然对数的底数，（1）讨论函数()fx的单调性（2）求函数()fx在区间[0,1]上的最大值.解：（1）对()fx求导可得`()(2)axfxxaxe.①当0a时,令'()0fx,得0x.若0x,则'()0fx,从而()fx在(0,)上单调递增；若0x,则,'()0fx,从而()fx在(0,)上单调递减.②当0a时,令'()0fx,得(2)0xax,故0x或2xa若0x,则,'()0fx,从而()fx在上(,0)上单调递减；若20xa,则`()0fx,从而()fx在2(0,)a上单调递增；若.2xa,则'()0fx,从而()fx在2(,)a上单调递减.（2）当0a时,()fx在区间[0,1]上的最大值(1)1f.当-2a0时,()fx在区间[0,1]上的最大值(1)afe；当2a时,()fx在区间[0,1]上的最大值2224()faae.3函数的变化性态及作图函数的图像以其直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数图象.中学教材在介绍二次函数，指数及三角函数等函数的时候，通常用描点法作出函数的图像.这中图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一点和区间上的性态.利用倒数作为工具可以有效地对函数的增减性，极值点，凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比第6页（共9页）较准确地作出函数的图像.一般来说，描绘函数的图像可以按下面的步骤进行：a.求出函数()fx的定义域，确定函数范围；b.判别函数()fx是否具有奇偶性或周期性，缩小描绘图象的范围；c.求函数()fx的不连续点，并讨论函数在不连续点的左右变化情况，可能存在极限，也可能趋向无穷（此时有垂直渐近线）.如果函数定义域是无限区间，则要讨论当x无限增加时，()fx的变化趋势，若存在极限，则有水平渐近线，若趋于无穷则应考虑是否有斜渐近线；d.计算函数()0fx()fx的一，二阶导数，并求解`()0fx和``()0fx，讨论()fx的单调性，局部极值，凸凹性与拐点，列表；e.在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐进线，再按讨论的性态逐段描绘.微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其他如因式分解，化简代数式，求值与求和等方面也有广泛的应用.随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.二高等代数观点下一些中学数学问题的认识现在大部分高等数学课程与中学数学课程严重脱节，学生所学的高等数学与中学数学联系不上，居高而不能临下，下面就举几例谈谈如何运用高等代数的知识解决中学数学的问题.1行列式的应用例6解分式方程22227101071010xxxxxx第7页（共9页）解：方程为22227101071010xxxxxx=02272010072010xxxx272010021xx2270xx1270,2xx2余数定理在因式分解中的应用多项式()fx有因式()xa的充要条件是()0fa，a就是()fx的一个有理根.用综合除法求出()fx的有理根，就能得到()fx的一次因式.例7分解因式31930xx.解：这里常数项是30，如果多项式有()xa型的因式，则a必为30的因数：1,2,3,5,6,10,15,30，以这些书分别代入多项式，可得(1)48,(1)12,(2)60,(2)0,ffff(3)60,(3)0,(5)0,fff根据余数定理，多项式有如2,3,5xxx的因式，由于多项式是三次式且首项系数等于1，所以：31930xx=(2)(3)(5)xxx三平面向量在中学数学解题中的应用新编中学数学教材在内容上增加了平面向量，这就给中学数学增加了一个全新的解题工具与方法.在处理空间直线与平面关系问题时，若能换个角度，用向量法来思考，往往会起到意想不到的效果.例8正方体1111ABCDABCD中，MN分别是线段1,CCBC的中点，点,OP分别第8页（共9页）是正方形1111ABCD与正方形11AABB的中点，求证：MNOP.分析：证明线线平行，擦黑能够归方法是转化为证线面平行，必须将其中一直线纳入一个平面来处理，难点在于如何做出辅助平面.若能建立空间直角坐标系，利用共线向量定理求解则很方便.证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则有(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1)MNMN则1(2,2,2),(0,0,2)BD，(1,1,2)O，1(2,0,0),(2,2,2)AB又，(2,1,1)P，(1,0,1),OPMNOP从而显然有，从而命题得证。CBADD'C'B'A'OPMN参考文献[1]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992[2]陈昌平.数学教育比较与研究[M].上海：华东师大出版社，1994[3]同济大学教研室主编.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，1988第9页（共9页）[4]俞正光，李永乐，詹汉生.线性代数与解析几何[M].北京：清华大学出版社，1998[5]方兆清.高等代数切实地指导中学数学教学[J].乐山：乐山教育学院学报，1991，（2）[6]戴再平.数学分析与解题研究[M].北京：高等教育出版社.1999[7]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版，1988[8]江志等.高中数学竞赛二十二讲[M].北京：高等教育出版社，1983[9]舒湘琴等译.高观点下的初等数学[M].郑州：河南教育出版社，1989.83[10]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京大学出版社，1999HighermathematicsoverlooksthemiddleschoolmathematicsAbstract:Thestudyfromcalculus,advancedalgebraandanalyticgeometryofspaceoftheUniversityandotheraspectslinkedtothemathknowledgeofsecondaryschool,explainsthequestionbyseveralexamples,Thestudywilllookdifferentfromtheircontactsandtoaprofoundunderstandingofsecondarymathematics.Keywords：Inequality;AdvancedAlgebra;Guidance;Application.