高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲一、考试题型1．填空题6题2．计算题8题二、知识点1．平面及其方程。例题：一平面过点(101)且平行于向量a(211)和b(110)试求这平面方程解所求平面的法线向量可取为kjikjiban3011112所求平面的方程为(x1)(y0)3(z1)0即xy3z402．空间直线及其方程。例题：求过点(203)且与直线012530742zyxzyx垂直的平面方程解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量即kjikjin111416253421)2,5,3()4,2,1(所平面的方程为16(x2)14(y0)11(z3)0即16x14y11z650例题：求过点(312)且通过直线12354zyx的平面方程解所求平面的法线向量与直线12354zyx的方向向量s1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为kjikjissn229824112521所求平面的方程为8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5903．旋转曲面。例题：将zOx坐标面上的抛物线z25x绕x轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的z换成22zy得旋转曲面的方程y2z25x例题：将zOx坐标面上的圆x2z29绕z轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的x换成22yx得旋转曲面的方程x2y2z294.多元复合函数求导，隐函数求导。例题：求函数xyez的全微分解xdyexdxexydyyzdxxzdzyxy12例题：设zu2lnv而yxuv3x2y求xzyz解xvvzxuuzxz31ln22vuyvu222)23(3)23ln(2yyxxyxyxyvvzyuuzyz)2()(ln222vuyxvu2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx例题：设zex2y而xsintyt3求dtdz解dtdyyzdtdxxzdtdz2223)2(costeteyxyx)6(cos)6(cos22sin223ttettettyx例题：设sinyexxy20求dxdy解令F(xy)sinyexxy2则Fxexy2Fycosy2xyxyyeyxyyyeFFdxdyxyx2cos2cos222例题：设xyyxarctanln22求dxdy解令xyyxyxFarctanln),(22则22222222)()(11221yxyxxyxyyxxyxFx22222221)(11221yxxyxxyyxyyxFyyxyxFFdxdyyx5.重积分（直角坐标，极坐标）。例题：Ddyx)(22其中D{(xy)||x|1|y|1}解积分区域可表示为D1x11y1于是Ddyx)(22ydyxdx111122)(xdyyx111132]31[xdx112)312(113]3232[xx38例题：Ddyxx)cos(其中D是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域解积分区域可表示为D0x0yx于是Ddyxx)cos(xdyyxxdx00)cos(00)][sin(dxyxxx0)sin2(sindxxxx0)cos2cos21(xxxd0|)cos2cos21(xxxdxxx0)cos2cos21(23例题：利用极坐标计算下列各题(1)Dyxde22，其中D是由圆周x2y24所围成的闭区域解在极坐标下D{()|0202}所以DDyxddede222)1()1(2124420202eeded(3)dxyDarctan其中D是由圆周x2y24x2y21及直线y0yx所围成的第一象限内的闭区域解在极坐标下}21,40|),{(D所以DDDdddddxy)arctan(tanarctan4021dd40321643dd5．求曲顶柱体体积。例题：求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积解由2222262yxzyxz消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2故立体在xOy面上的投影区域为x2y22因为积分区域关于x及y轴均对称并且被积函数关于xy都是偶函数所以DdyxyxV)]2()26[(2222Ddyx)336(222202220)2(12xdyyxdx6)2(82032dxx例题：计算以xOy平面上圆域x2y2ax围成的闭区域为底而以曲面zx2y2为顶的曲顶柱体的体积解曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D{(xy)|x2y2ax}在极坐标下}cos0,22|),{(aD所以axyxdxdyyxV22)(22422cos022442323cos4adadda6常数项级数的审敛法。例题：判定下列级数的收敛性(1))4)(1(1631521nn解因为145lim1)4)(1(1lim222nnnnnnnn而级数121nn收敛故所给级数收敛(2)2sin2sin2sin2sin32n解因为nnnnnn22sinlim212sinlim而级数121nn收敛故所给级数收敛(1)232332232133322nnn解级数的一般项为nnnnu23因为123123lim322)1(3limlim111nnnnuunnnnnnnnn所以级数发散(2)123nnn解因为131)1(31lim33)1(limlim22121nnnnuunnnnnnn所以级数收敛(3)1!2nnnnn解因为12)1(lim2!2)1()!1(2limlim111ennnnnnuunnnnnnnnnn所以级数收敛(3)112tannnn解因为121221lim2tan2tan)1(limlim12121nnnnnnnnnnnnnuu所以级数收敛例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的是绝对收敛还是条件收敛？(1)4131211解这是一个交错级数11111)1()1(nnnnnnu其中nun1因为显然unun+1并且0limnnu所以此级数是收敛的又因为1111|)1(|nnnnnu是p1的p级数是发散的所以原级数是条件收敛的(2)1113)1(nnnn解111113|3)1(|nnnnnnn因为131331lim1nnnnn所以级数113nnn是收敛的从而原级数收敛并且绝对收敛7．幂级数。例题：求下列幂级数的收敛域)1(21222nxxxnn解1)1(lim1)1(1lim||lim22221nnnnaannnnn故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为221)1(nnn是收敛的当x1时幂级数成为1211nn也是收敛的所以收敛域为[11]11212)1(nnnnx解这里级数的一般项为12)1(12nxunnn因为212321|1232|lim||limxxnnxuunnnnnn由比值审敛法当x21即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂级数发散故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为1121)1(nnn是收敛的当x1时幂级数成为11121)1(nnn也是收敛的所以收敛域为[11]8．函数展开成幂级数。例题：将下列函数展开成x的幂级数并求展开式成立的区间(1)sin2x解因为xx2cos2121sin202)!2()1(cosnnnnxxx()所以1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sinnnnnnnnnxnxxx()例题：将函数f(x)cosx展开成)3(x的幂级数解3sin)3sin(3cos)3cos(]3)3cos[(cosxxxx)3sin(23)3cos(21xx01202)3()!12()1(23)3()!2()1(21nnnnnnxnxn)(])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202xxnxnnnnn5例题：将函数xxf1)(展开成(x3)的幂级数解nnnnxxxxx0)1331()33()1(313311313311即nnnnxxx0)60()33()1(311例题：将函数231)(2xxxf展开成(x4)的幂级数解2111231)(2xxxxxf而0)1|34(|)34(31341131)4(3111nnxxxxx即)17(3)4(1101xxxnnn0)1|24(|)24(21241121)4(2121nnxxxxx即)26(2)4(2101xxxnnn因此001122)4(3)4(231)(nnnnnnxxxxxf)26()4)(3121(011xxnnnn注意复习书上习题刘华