高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题(A卷)专业____________姓名______________学号________________《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”一,填空题(每题4分,共32分)1.213______4xykxyzk若平面与平面成角,则1/42.曲线20cos,sincos,1tutxeuduyttze在t=0处的切线方程为________________3.方程zexyz确定隐函数z=f(x,y)则zx为____________4.22,yydyfxydx10交换的积分次序为_________________________5．2221,LxyxydsL已知是圆周则_________6.收敛7.设幂级数0nnnax的收敛半径是2,则幂级数210nnnax的收敛半径是_________8.211xy微分方程的通解是2121arctanln12yxxcxc_______________________二．计算题(每题7分,共63分)1．讨论函数f(x,y)=22221sin,xyxy220xy,f(0,0)=0在点（0,0）处的连续性，可导性及可微性。P。3302．求函数2222zyxu在点)1,1,1(0P处沿OP0方向的方向导数，其中O为坐标原点。3．212.1nnnnn判别级数的敛散性P．544012112xyzzzyzxexy2211sin____________1nnn级数的敛散性为4．设u=),(zyxyf，),(tsf可微，求dudzfdyfxfdxyf2211.5．,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m側面造价为1元/m现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M，高为3M。6.22222242lncyIdxxyxRxdyRx计算2222,010,xycAaBbab曲线是从点沿椭圆的第一象限部分到点的弧段.解：22502200,8882lnln3BooADbbbyabBooAIxdxdybdyxdxyRdybRa将积分路径家直线段与构成正向的闭曲线,由格林公式得,7．222221lnxyxydxdy0计算极限lim221220lnlndrrdrudu00解:原式=limlim21ln|uuu0lim8．试求幂函数1121)12(2)1(nnxnn的收敛域及和函数。9．求微分方程)1(822xeyyy的通解。特征方程0122rr的根为：121rr对应的齐次方程的通解为xCexCCy)(21设特解为xxeyBABeAy2*2*888,8代入方程确定故所求通解为xxeexCCy22188)(三．（本题5分）已知曲线积分Lyxxxyxxd)(d)(sin与路径无关，其中()x可导，且()1，求()x。解：由积分与路径无关，故cxxcdxexxexxxxxxxyPxQxdxxdxcos1sinsin1)(sin)(为：一阶线性微分方程通解－即代初始条件：()1得)1cos(1)(1xxxc　特解为：2．设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(BAO，在OAB的闭区域D上，求出点M，使它到点O、A、B的距离平方和为最大。解：设所求点为M(x,y,)距离的平方和：)10,10()1()1(222222xyxyxyxyxd在区域内部求驻点：31,313102631026驻点：解出解出yyydxxxd在该点的函数值d(1/3,1/3)=4/3，在边界x=0,0≤y≤1上1)1(222yyd驻点(0,1/3),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（0,1）d(0,1)=3。在边界y=0,0≤x≤1上1)1(222xxd驻点(1/3，0),与端点函数值比较，得该边界上最大值点（1,0），最大值d(1,0)=3。在边界y=1-x,0≤x≤1上222)1()1(23xxxd驻点(1/2,1/2)与端点函数值比较，得该边界上最大值点是(1,0)、(0,1)。比较区域内驻点及边界上最大值点的函数值知，该问题最大值点为：A(1,0)、B(0,1)，最大值为3。中山大学2005级东校区第二学期高等数学一期末考试试题（2006年6月）姓名：专业：学号：成绩：《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”一.（每小题7分，共28分）1.设函数)(2),(2yxfxyyxz，其中f二阶可微，求yxzxz2,。2.设函数kzxyjyxizyxF)(3222，求)(,FvidgradFvid。警示3.设函数)0(,)(sin)(2ydxxyxygyy，求)(yg。4.在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分DdydxyxfI),(化为累次积分，其中D是由直线xyxyxx2,,2,1所围成区域。二.（10分）计算曲线积分0()sin()cos(mdymyedxmyyeILxx为常数），其中有向曲线L是圆周)0(222aaxyx从点)0,2(aA经),(aaM至)0,0(O的部分。三.（10分）利用高斯公式计算曲面积分SdxdyzxdzdxyzdydzxxyI2222)(，其中S是由球面,222xzzy平面0y所围区域表面的外侧。四.（每小题7分，共14分）1.求微分方程：dxdyxyydxdyx的通积分。2.求微分方程：xeyyy23465的通解。五.讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）1.xdxx105sin，2.1321xxdx。六.（9分）求幂级数221)1(2)1(nnnxnn的收敛半径、收敛域以及和函数。七.（7分）求函数xxfln)(在2x处的泰勒展开式，并求出收敛域。八.（7分）证明级数1)10(,)sin(nppnnx在闭区间],[上一致收敛，但对任意固定的],[x，该级数并不绝对收敛，其中20。九.（5分）设级数1nna收敛于S，且0limnnan，证明级数11)(nnnaan也收敛于S。高等数学（一）重修重考试题（B卷）（2005学年度第二学期）东校区姓名：专业：学号：成绩：《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”一，（每小题7分，共28分）1，设函数)(2),(2xyfyxyxz，其中函数f二阶可微，求yxzxz2,。2，若隐函数)(xyy由方程yxeyx确定，求y。1警示3，设函数0,)cos()(3ydxxxyygyy，求)(yg。4，计算积分：dxxxdyIy2121sin。2二，（10分）求曲线积分dyexdxeyIxx)()1(，其中是椭圆19422yx的上半周由点)0,2(A到点)0,2(B。三，（10分）计算曲面积分dxdyzdzdxyydydzxIS)(2，其中S为曲面22yxz，10z，取下侧。3四，（每小题7分，共14分）1，求解微分方程初值问题：1)1(yeyyxx。2，求微分方程：xeyyy2134的通解。五，讨论如下广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）（1）1321xxdx，(2)dxxx1034sin.4六,（每小题8分，共16分）(1)求幂级数nnnnxn)3(3)1(1的收敛半径，收敛区间和收敛域。（2）求函数xxf11)(在点1x处的幂级数展开式。5七，（7分）讨论无穷积分0325sindxxxx的敛散性，若积分收敛，研究其是绝对收敛还是条件收敛？八，（5分）设序列.nan收敛，级数11)(nnnaan也收敛，求证：级数1nna收敛。605级高数(一)下学期期中考试试题1.设1,,uxyzr,2220rxyz,求222222uuuxyz.2.若隐函数yyx有方程xyxye确定,求y.3.求曲面23zezxy在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程.4.计算221sin1yxIdydxx.5.计算||DIydxdy，其中2222:1xyDab6.计算33xxLIyeydxexdy,其L是单位圆周221xy的正向.7.计算2SIxdydzyydzdxzdxdy，其中S为曲面22zxy,01z的下側.8.若22222xytGtxydxdy,求Gt.9.设,fxy在有界闭区域D上连续,,iixyD,1,2i,试证在D中至少存在一点,,使11223,4,,7fxyfxyf.