高等数学微积分A2007期末试卷A卷解答(北京理工大学)

12007-2008学年《微积分A》第二学期期末考试参考答案及评分标准2008年6月18日一、填空（每小题4分，共28分）1.;3)0,0(,2)0,0(yxff2.-10;3.极小值点为(2,1),极大值点为(0,0);4.);1(232e5.;),(210xxdyyxfdxI6.绝对收敛；7..21R二、.221fxyfyyxu..………3分有二阶连续偏导数，fyxuxyu22..………5分.1122311221fxyfxyfxf………….8分三、解交点：),1,1()2,21(,(2,2)……………..2分DdxdyyxI221yydxyxdy122211…………….5分213.832ln)11(dyyy……………...8分或DdxdyyxI22121221211xdyyxdx222211xdyyxdx四、,:222yxRz.122222yxRRzzyx…….2分,:222RyxDxoy面的投影区域为在……..4分2DdxdyyxRRyxdSyxI2222222)()(……..6分dRdRR022320……………..8分.344R…………….10分五、,21)(100xdxdxxfa………………..1分0cos1cos)(1nxdxxnxdxxfan]1)1[(12nn,2,1,122,2,1,202kknnkkn…………………3分.)1(sin1sin)(110nnxdxxnxdxxfbnn…………..5分112).,0()0,(},sin)1(cos]1)1[(1{4)(nnnxnxnnxnxf……..……..7分.)3,2(2]2,(0)(xxxxS……………..10分六、补充平面,4,4:22yxzS取下侧，则由Gauss公式…..2分4:2224)222(yxDVSSdxdydxdydzzyxI……..4分642VzdV（由对称性）…….……..6分64222:40zyxDzdxdyzdz…….……..8分3642402dzz364…………..10分七、由比值法：21||2)()(limxxuxunnn，……….1分时，幂级数绝对收敛；即：当2222,122xx……..2分时，幂级数发散；或即：当2222,122xxx……..3分.2222x所以收敛区间为：…………4分1022112122122122)(nxnnnnnnnndxxxnxxnxxS……..6分xxnndxxxdxxx0201122112)2(2……..8分].22,22[.2121ln2)211211(0xxxxdxxxxx………….……..10分八、.2:22xyxDxoy面上的投影区域为在…….……..2分VzdVyxJ)(22….………...3分xyxDdzdxdyyx22222)(……………..5分Ddxdyyxxyx)2)((2222cos202222)cos2(dd……………..7分.32cos1522066d………..……..8分4九、法1：记,2)(,2532yxyxfYkyxyxX由题意，有)()(3,22xyfxyxyfkyxxYyX即；……..2分ukuufuufxyu3)(1)(,有记解得：.)(2uCkuuf(1)……..3分则有选择折线路径：),,()0,()0,0(ttt20052]2)([2tdyytytfdxxtt2062)(3tduuftt即：421)(ttft求导，得对，.1)(,22uuftu得令与(1)式比较得：.0,1Ck…………..5分此时dyyxyxfdxkyxyx]2)([)2(532dyyxyxdxyxyx]2[)2(23532)3131(2633yxyxyxd：故此全微分的原函数为.3131),(2633Cyxyxyxyxu…..8分（注：还可用曲线积分法和不定积分法求原函数。）法2：则有选择折线路径：),,(),0()0,0(ttt2052302)2(2tdxktxxtydytt，得2222tktt，1k……..3分（其余可同上）