高等数学教案Word版(同济)第二章6

第六讲I授课题目：§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（三）§2.5函数的微分II教学目的与要求：1.理解相关变化率;2.理解函数微分的定义。III教学重点与难点：重点：函数微分的定义，用函数微分的定义计算函数的微分难点：函数微分的定义IV讲授内容：学了函数的导数的求解方法，要学函数的微分，并会计算函数的微分一、相关变化率设函数)(txx及)(tyy的都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系。此两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究两个关系率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。二、微分的定义设函数)(xfy在某区间内有定义，0x及xx0在此区间内，如果函数的增量)()(00xfxxfy表示为)(xoxAy其中A是不依赖x的常数，那么称函数)(xfy在点0x点可微的，而xA叫做函数)(xfy在点0x相应于自变量增量x的微分，记作dy，即xAdy函数在一点可微的充分必要条件是函数在此点可导主部的定义)(dyodyy即dy是y的主部线性主部的定义又因xxfdy)(0是x的线性函数，所以在0)(0xf的条件下，就说dy是y的线性主部（当0x），有式dyy函数微分的定义定义1函数)(xfy在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或)(xdf即xxfdy)(，常将自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx，即xdx函数)(xfy的微分又记为dxxfdy)(从而有)(xfdxdy例1求函数2xy在1x和3x处的微分解函数2xy在1x处的微分为xxxdyx2)(12在3x处的微分为xxxdyx6)(32函数的微分dy与自变量的微分dx的商等该函数的导数。因此，导数叫做“微商”三、微分的几何意义函数()yfx的图形是一条曲线，yNTPMQ()yfxOx函数)(xfy的可微的，当y是曲线)(xfy的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的增量，dyy比x的值小，因此在点的邻近，用切线段近似代替曲线段V小结与提问：小结：给出微分的定义，给出用微分的定义求函数的微分提问：怎么样用微分的定义求函数的微分？VI课外作业：P111-P11212，P1221