高等数学教案提纲

1高等数学教案提纲Chapter11InfiniteSeries我们都知道，高等数学的研究对象是函数。到现在为止，我们已经学习了高等数学的主要内容：极限理论和微积分学。这一章所要讨论的无穷级数理论，则是更进一步地表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的重要工具，它对于微积分学的进一步发展是非常重要的。实际上我们已经知道，导数是一个比值的极限、定积分是一个和式的极限，因此，我们说极限思想贯穿于微积分学的始终，而这一章将提供给我们的是一种“函数逼近”的思想方法。我曾经和大家说过：一本书可以很厚，但基本思想方法不会很多。因此，无论是从思想方法、还是从重要工具的角度，无穷级数的理论都将为我们高等数学的学习带来新的精彩，从而为我们的学习画上一个比较圆满的句号。其实，我们大家对无穷级数并不陌生，我来举两个基本的例子：第一个，不知道大家是否记得，在第一章讲数列极限时，我曾举过《庄子》天下篇中的一个中国古典名例“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。记得当时我还曾跟大家开过玩笑，说：“人生太短暂，做不了太多的事情。”但是，当我们有了极限的工具之后，我们却可以站在有限、把握无穷。这或许就是数学的魅力！现在我们换一个角度来看这个问题：①12121212132n；这是我们看出来的，不是我们算出来的，因为这是无穷多项和的形式。如果是：?131211n那么，各位：谁能告诉我，这个和是什么？②xsin大家都认识，如果现在我问：xsin是什么？大家将作何回答？在中学大家就使用过数学用表，求过xsin的近似值，知道这些数学用表是怎样造出来的吗？想知道吗？实际上，xsin真正的数学定义应该是：)!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnn，Rx。实际上，我们中学xsin的数学用表，就是取了这个无限和的前三项就可以造出来。现在，无论你是在计算器上、还是在计算机里，你所得到的xsin的值都不过是这个无穷和的有限项的代数和，而且可以达到任意高的精确度。这是什么？这就是“函数的逼近”！我们将在第四节之后向大家做完整的交待。此外，如果从物理学的观点来看，把一个复杂的运动分解为一系列基本的简谐运动的叠加形式，这是近代物理中分析处理问题时一个很基本的思想方法。在第七节讨论傅立叶级数2时，大家将会看到，比如：在无线电技术中的矩形波函数，就可以用一系列正弦波的叠加来无限的逼近。这是后话。实际上，在现代科学技术当中，级数理论以其非常重要的基础地位而成为现代数学方法中非常重要的数学工具。所以，很多有关这方面的问题，我们都将在这一章当中得到完满的回答！但是，可能有的人就会说了，为什么要把好好的一个1写成这种无穷和的形式？这一方面固然是把确定的东西变为某种不确定的东西，可是另一方面，它却同时也就把某些不易掌握的对象变为我们所熟知的过程了。这里，用的不过是加、减、乘、除运算而已，这是一种思想方法。恩格斯在他的《自然辩证法》一书中就曾说过：“如果没有无穷级数和二项式定理，我们又能走多远呢？”当然，我们每个人都希望能走得更远一些，至少是健康些、快乐些、长久些。下面，我们就来学习这章的第一节：常数项级数的概念与性质。§11.1TheConceptandPropertiesoftheConstantSeries本节教学目的：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。本节教学重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念。本节教学难点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数收敛的必要条件。这就是我们这节将要介绍的两个方面的问题。一TheConceptoftheConstantSeries如果给定一个数列}{nu，则由它构成的表达式(1)nnnuuuu211就叫做常数项无穷级数，简称级数。其中第n项nu叫做级数的一般项(GeneralTerm)。这个无穷多项的和实际上是形式上的，我们以往研究的都是有限和，那么，这个无穷的和本质的含义是什么？在这个无穷和当中我们看出来它是1，而在后一个无穷和当中我们真的还一时看不出来。究竟什么时候它可以代表这样一个确定的数，什么时候它又什么都不代表？这个就涉及到级数收敛与发散的概念。这里，我们同样可以先把无穷级数的形式写出来niinnnuu11lim，然后，我让n趋向无穷大，所以说，要想研究无限，我们呢从有限来看有限的变化趋势。这样，什么叫无穷级数？无非是n越取越多，一直到无穷大。这就写成了一3个极限的形式，而极限对我们来说相对是比较熟悉的内容。这时如果我把级数的前n项的和拿来，命名为：(2)niinnuuuus121，ns称为级数(1)的前n项部分和(PartialSum)。那么，这时候，我们看到了：这个级数究竟代表什么就和它的极限建立起来了联系。即11us，212uus，3213uuus，…，nnuuus21，…，则它们就构成一个新的数列：}{ns，通常称为级数(1)的部分和数列。12111121)()()(nnnnnnnussssssss，当然，我们也有：11su，)2(1nssunnn。即，给定级数1nnu，就有部分和数列}{ns；反之，给定数列}{ns，就有以}{ns为部分和数列的级数这样一来，级数这无穷多项的和是什么？就与部分和数列}{ns的极限建立起了密切的联系。即：如果数列}{ns存在极限，ssnnlim，则称数列}{ns收敛。当着这个数列是收敛的时候，哇！这个级数就代表了一个确定的数值，从而级数sunn1；如果数列}{ns的极限不存在，则称数列}{ns发散，从而级数1nnu不知道会是什么，可能是无穷大，也可能什么都不代表。如果我们顺便说点题外的话，这种发散的特性在现代科学技术中也同样有重要的应用，比如，在密码学中，规律性强的密码不是好的密码，唰的一下就被别人破译了，你们家的那点事别人都知道了。这还是小事，要是国家的大事就惨了。这样，对于一个无穷级数它的这两种发展趋势，我们按照数列的收敛与发散情况就可以很容易的、平行的把它推广到无穷级数当中去。这就是我们要介绍的：DefinitionTheinfiniteseries1nnuconvergesandhassumsifthesequenceofpartialsums}{nsconvergestos,thatisssnnlim.If}{nsdiverges,thentheseries1nnudiverges.Adivergentserieshasnosum.4定义如果级数1nnu的部分和数列}{ns有极限s，即ssnnlim，则称无穷级数1nnu收敛，这时极限s叫做这级数的和，并写成1nnus；如果}{ns没有极限，则称无穷级数1nnu发散。显然，当级数收敛时，其部分和ns是级数和s的近似值，它们之间的差值：21nnnnuussr叫做级数的余项(RemainderTerm)。用近似值ns代替s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是||nr。从上述定义可知，级数与数列极限有着紧密的联系。给定级数1nnu，就有部分和数列}{ns；反之，给定数列}{ns，就有以}{ns为部分和数列的级数12111121)()()(nnnnnnnussssssss，其中11su，)2(1nssunnn。按定义，级数1nnu与数列}{ns同时收敛或同时发散，且在收敛时，有nnnnsulim1，即niinnnuu11lim。数列与级数的如此密切的关系（你中有我，我中有你）表明：对于数列极限的一些结果，无穷级数都有相应的结果。但是，在很多情况下，很难把级数的部分和数列写成一个易求极限的表达式，而级数采用无穷多项相加这一特殊形式，具有明显的直观性，使用起来更方便。因此，数列极限的研究，并不能代替级数的研究。我们既要看到它们本质上、内在上的联系。又要注意到它们形式上、方法上的区别。Example1讨论等比级数（GeometricSeries）0nnaq的敛散性，其中qa,0为公比。解当1q时，qaqqaqaqaaqaqasnnnn1111，当1||q时，qasnn1lim，级数收敛；5当1||q时，nnslim，级数发散；当1||q时，即当1q时，nasn（n），级数发散；当1q时，为偶数时，，为奇数时，nnasn0,从而ns的极限不存在，级数发散。综上，等比级数（GeometricSeries）0nnaq当1||q时收敛；当1||q时发散。如：1)21(1nn（前面是看出来的，现在是严谨、科学的）；0)23(nn发散等等。等比级数既简单又常用，后面会看到：根据它的敛散性可以推断出很多其他级数的敛散性，我们应当熟记它的敛散性。Example2TheTheoryofSpringBall（弹力球问题）：一个弹力球有这样的性质：当它从高度)(mh处落到硬地面后，总可以回跳到前一次高度的r倍处，其中10r。回跳起后又落下，一直如此运动。求此球在运动过程中所经过的总距离)(mL（假设弹力球总是垂直运动）。解根据题意我们可以建立此问题的简单数学模型：)(11122222mrrhrhrhhrhrrhhLn。如果进一步求此球在运动过程中所花的总时间)(st？留给大家做课外练习。)(112122222222)(2srrghrrghghghrgrhghst。其中由221gth有ght21，grht222，等等。更多深入、有趣的应用例子大家将在后继的象“数学建模与数学实验”等课程中接触到。特别地，如果你能有幸地被选拔为我们学校参加每年一度的全国大学生数学建模竞赛的参赛队员，经过相对系统的训练，那你肯定就会更深刻地体会到什么是学数学、什么是用数学，什么是“书到用时方恨少。”期待并努力吧！Example3证明：调和级数(HarmonicSeries)11nn是发散的。证明：用反证法。假若调和级数收敛，设它的部分和为ns，且ssnnlim。6显然，对它的部分和ns2，也有ssnn2lim。于是0)(lim2ssssnnn。但另一方面212121212121112nnnnnnssnn，故0)(lim2nnnss，与假设矛盾。这矛盾说明调和级数11nn必定发散。Example4判别级数211]1)1(1[nppnn（1p）的敛散性。解由111111211)1(113121211]1)1(1[pppppnkppnnnkks)(1)1(111nnp，则由定义可知，原级数收敛。Example5判别级数1)1(1nnn的敛散性。解由11111113121211)1(1321211nnnnnsn，)(n可知原级数收敛。对于本题，虽然后面会有更简洁的解法，但本题解法在于复习部分分式的技巧。如果级数为：1)!1(nnn，其敛散性如何？（只分析，不详解）解由)!1(1!1)!1(11)!1(nnnnnnun，则)(1)!1(11)!1(1!1!31!21!211nnnnsn，故原级数收敛。显然运算技巧更高一筹。二NecessaryConditionforConvergenceTheorem(NecessaryConditionforConvergence)Iftheseries1nnuconverges,then0limnnu.7定理（级数收敛的必要条