高等数学曲面积分试题

Ⅶ曲线积分与曲面积分（二）课堂练习题一、填空题1．cosα,cosβ,cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V，设u(x,y,z)在V上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(coscoscos)uuudsxyz=。2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V，则沿曲面Σ外侧的积分()()()zydxdyyxdxdzxzdzdy=。3．设函数),,(zyxp在空间闭区域V上有一阶连续偏导数，又Σ是V的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)pxyzdydz。4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y轴的转动惯量Iy=。5．围成空间闭区域V的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos、cos、cosγ，设P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在V上有连续二阶偏导数，则[()cos()cos()cos]RQPRQPdsyzzxxy。二、选择题1．设为球面2221xyz，1为其上半球面，则式正确。A．12zdszds；B．12zdxdyzdxdy；C．1222zdxdyzdxdy；D．zdxdy=0。2．若为222()zxy在xoy面上方部分的曲面，则ds等于。A．220014rdrrdr；B．2220014drrdr；C．2220014drrdr；D．2。3．若为球面2222xyzR的外侧，则22xyzdxdy等于。A．22222xyDxyRxydxdy；B．222222xyDxyRxydxdy；C．0；D．343R。4．曲面积分2zdxdy在数值上等于。A．向量2zi穿过曲面的流量；B．向量2zj穿过曲面的流量；C．向量2zk穿过曲面的流量；D．面密度为z2的曲面的质量。5．设是球面2222xyzR的外侧，Dxy是xoy面上的圆域222xyR，下述等式正确的是。A．2222222xyDxyzdsxyRxydxdy；B．2222()()xyDxydxdyxydxdy；C．2222xyDzdxdyRxydxdy；D．xyDzdxdyzdxdy。三、计算题1．求zdxdyyydzdxxxdydzz222，Σ是z=x2+y2、x2+y2=1和坐标面在第一卦限所围立体V的边界外侧。2．求dxdyzxxxydzdydydzx)(48)1(22，Σ是旋转抛物面z=x2+y2上介于0≤z≤4之间部分的上侧。3．求222dsxyz，是界于平面z=0及z=h之间的圆柱面222xyR。4．求曲面z=x2+y2含在x2+y2=2x内的那部分面积。5．求均匀曲面222zaxy的重心的坐标四、流体流速kzxjyzixyv，求由z=1、x=0、y=0和z2=x2+y2所围立体在第一卦限向外流的流量。五、设围成空间闭区域V的曲面Σ为zzyx4222，函数),,(zyxuu在V上具有二阶连续偏导数，且1222222zuyuxuu，nu是u(x,y,z)在Σ上各点处沿外法线方向的方向导数，计算dsnu。选做题1．设Σ是柱面222ayx在hz0之间的部分，则2xds=。2．2223()xdydzydzdxzdxdyxyz，为曲面22(2)(1)15169zxy(z0)的上侧。3．已知曲面2az=x2-y2上任意一点P(x,y,z)处的面密度为k|z|(a0)，求曲面被柱面x2+y2=a2截下的部分质量。4．Σ是由xoy面上曲线x=ey(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转曲面，曲面法向量与x轴正向夹角大于π/2，计算zxdxdyxydzdxdydzx48)1(22。5．计算111dydzdzdxdxdyxyz，Σ是椭球面1222222czbyax外侧。6．设分布着均匀物质的曲面Σ上半部为球面2221:yxaz，下半部为柱面:2222ayx)0(,zh，底面为,:3hz222ayx，欲使其重心落在球心处，试求底半径a和柱面高h之间的关系。7．设u(x,y,z)有连续二阶偏导数，Σ是V的光滑边界曲面，nu是沿Σ外法线的方向导数，222222uuuuxyz，证明：Vudxdydzdsnu。8．证明：22xdxydyxy在整个xoy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。9．求向量Axiyjzk通过闭区域：0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1的边界曲面流向外侧的通量。10．流体在空间流动，流体的密度处处相同，流速函数222Vxziyxjzyk，试求流体在单位时间内流过曲面222:2xyzz的流量（流向外侧）和沿曲线L：2222xyzz,z=1的环流量（从z轴正向看取逆时针方向）。供稿：陈巨龙Ⅶ曲线积分与曲面积分（二）班级姓名学号1．求zdxdyxdydz，Σ为222ayx在第一卦限被平面0z、hz)0(h截下部分的前侧。2．求222()()()yzdydzzxdzdxxydxdy，其中为锥面22(0)zxyzh的外侧；3．计算dsz2，Σ是柱面422yx介于60z之间的部分。4．求均匀曲面z=222yxa的重心坐标。