高等数学期中试卷0904

考生注意：所有答案（包括填空题）按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分一、填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分)(1)已知3),(,2,5baba，则：)2()32(baba_________.(2)（0，0，0）关于平面1zyx的对称点为___________.(3)当k满足____时，直线：321zktytx与平面0552zyx夹角为6。(4)函数),(yxfz在点),(yx处可微的充分条件为______，必要条件为________.(5)若2xyzue，则)1,1,1(|du______.(6)曲线2321,,)1(tztytx在点)1,0,1(处的切线为___________.(7)函数)ln(22yxu在点M（3，4）处沿梯度方向的方向导数__________.(8)交换积分次序：1200(,)ydyfxydx+3310(,)ydyfxydx=_________.(9)设D是由1)1(22yx与0x所围第一象限部分，则Ddxdyyx)(22在极坐标下的累次积分为____________________。(10)设由z2=22yx与柱面22yx=1围成的在第一卦限内的闭区域，则I=dvzyxf),,(化为直角坐标系下的三次积分为.二、计算题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）(1)求过点M(3,12)且通过直线12354zyx的平面方程.(2)设g(u,v)具有二阶连续偏导数，)](21,[),(22yxxyfyxg,求22gx及2.gyx(3)设dtttxfx0sin)(，求dxxf0)(.(4)求函数22324yxyxxz的极值.(5)求柱面222azx含在柱面222ayx（a0）内的部分面积.三、（本题满分8分）求在曲面142:222zyxS上平行于平面0522:zyx的切平面方程.四、（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为xyyxyxc222),(（万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？五、（本题满分8分）设),(vu为可微函数，证明由方程0),(bzcyazcx所确定的函数),(yxzz满足方程cyzbxza，其中cba,,为常数，并说明曲面),(yxzz的特点.六、（本题满分8分）设0a，物体占有空间是由yoz坐标面上曲线azzy222绕z轴旋一周所形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数为常数0，求旋转曲面的方程，以及该物体对于坐标原点的转动惯量.七、（本题满分8分）(1)设函数f(x)连续且恒大于零，}),,{()(2222tzyxzyxt，222(){(,)}Dtxyxyt，)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF，讨论F(t)在区间),0(内的单调性.（2）设函数)(xf，)(xg在],[ba上连续且单调增加，证明：badxxf)(badxxg)(badxxgxfab)()()(答案一、填空题(本题共8小题，每小题3分，满分24分)1．3353sin2577ba2．)32,32,32(3。3k或31k4.5.e－1(－2dx－dy+dz)6.01011zyx7.528.xxdyyxfdx3220),(9.20sin203drrd10.2221100dx(,,)xxydyfxyzdz0二、计算题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）1.【解】所求平面的法线向量与直线12354zyx的方向向量s1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为kjikjissn229824112521所求平面的方程为8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5902.【解】vfxufyxg，.vfyufxyg故vfvfxvufxyufyxg2222222222，22222222().gffffxyxyxyyxuvuvu3.【解】00000sinsin()sin2xtttfxdxdtdxdtdxtdttt4.【解】由02202832yxzyxxzyx，得驻点)2,2(),0,0(2,2,86yyxyxxzzxz对)0,0(,2,2,8yyxyxxzCzBzA,0122ACB且0A，故函数z在)0,0(点取极大值0)0,0(z对)2,2(,2,2,4yyxyxxzCzBzA,0122ACB故函数z在)1,1(点不取极值。5.【解】设第一卦限面积为A1，则A=4A1。第一卦限内曲面方程22xaz－，则dxdyxaadA22，第一卦限内曲面在xoy平面投影区域D)0,0(222yxayx，则22D8aAdxdyax。/22222008cosaarddraar=8三、（本题满分8分）【解】：切平面法向为txtytxtztytx222/222},1,2,2{代入曲线方程：2112222tttt，切点为)1,21,1(或)1,21,1(切平面为01)21(2)1(2zyx即0422zyx或01)21(2)1(2zyx即0422zyx四、（本题满分8分）【解】：即求成本函数yxc,在条件8yx下的最小值构造辅助函数)8(2,22yxxyyxyxF）解方程组080402yxFyxFyxFyx解得3,5,7yx这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：2835325)3,5(22c（万）五、（本题满分10分）【解】：在0),(bzcyazcx方程两端分别对yx,求偏导数得：0)()(21xxzbzac；0)()(21yyzbcza。解得：211baczx；212baczy。代入得：cyzbxza改写为：0)()(kjzizkcjbiayx即：)()(kjzizkcjbiayx它表示曲面),(yxzz上任一点的切平面都与定向量kcjbiaA平行，故曲面),(yxzz是母线平行于kcjbiaA的柱面。六、（本题满分10分）【解】：旋转曲面方程为：2222xyzaz所求转动惯量为dvzyxI)(22200，:azzyx2222利用球坐标替换，有drrrddIa2020cos202200sin20550sincos)2(512da-2065506cos522a501532a-七、（本题满分10分）【解】(1)因为ttttrdrrfdrrrfrdrrfddrrrfddtF020222002200022)()(2)(sin)()(，202022])([)()()(2)(rdrrfdrrtrrfttftFtt，所以在),0(上0)(tF，故F(t)在),0(内单调增加.（2）badxxf)(badxxg)(()()()()DDfxgydfygxd()()()()()()()baDDbafxgxdxfxgxdfygydbadxxf)(badxxg)(()()()babafxgxdx()[()()]()[()()]DDfxgygxdfygxgyd1[()()][()()]02Dgxgyfyfxd，证毕