高等数学第一章公式

1高等数学公式与定理（第六版上册）2第一章函数与极限第一节：初等函数幂函数：axy(是常数）Ra指数函数：xay（a0且)1a对数函数：y=xalog(a0且a1，特别当a=e时，记为y=lnx)三角函数:如y=xsin等反三角函数：如y=arctanx等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。定理3(收敛数列的保号性)如果,limaxnn且a0(或a0),那么存在正整数N0，当nN时，都有.nx0(.nx0)定理4(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.nx}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.3第三节函数的极限函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)如果)(lim0xfxx存在，那么这极限唯一.定理2（函数极限的局部有界性）如果)(lim0xfxx=A存在，那么存在常数M0和δ0,使得当0{0xx}δ时，有)(xfM.定理3（函数极限的局部保号性）如果)(lim0xfxx=A，且A0(或A0),那么存在常数δ0，使得00xx时，有0)(xf（或0)(xf）定理3′如果)0()(lim0AAxfxx,那么就存在着nx的某一去心邻域),(00xU当)(00xUx时，就有2)(0Axf.推论如果在0x的某去心邻域内)0)x0)(0（或（fxf，而且Axfxx)(lim0，那么）或（00AA定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限)(lim0xfxx存在，{nx}为函数)(xf的定义域内任一收敛于0x的数列，且满足：)(*0Nnxxn,那么相应的函数数列)(nxf必收敛，且).(lim)(lim0xfxfxxn第四节无穷小与无穷大定理1在自变量的同义一变化过程0xx)x(或中，函数)(xf具有极限A的充分必要条件是,)(aAxf其中a4是无穷小。定理2在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小；如果)(xf为无穷小，且)(xf≠0，则)(1xf为无穷大。第五节极限运算法则定理1有限个无穷小的和也是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。定理3如果,)(lim,)(limBxgAxf那么（1）BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[(2)BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[若又有B0,则BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim.推论1如果)(limxf存在，而c为常数，则).(lim)](lim[xfcxcf推论2如果)(limxf存在，而n是正整数，则.)]([lim)](lim[nnxfxf定理4设有数列}{y}{n和hxn，如果5.lim0)2,1(0)3(;lim)2(;x1,lim,limBAyxBnyBAyxBAyByAxnnnnnnnnnn时，且当））里面（（那么定理5如.a,)(lim,)(lim),()(bbxaxxx那么而定理6（复合函数的极限运算法则）设函数)]([xgfy是由函数）与函数ufxgu(y)(复合而成，)([xgf在点0x的某去心邻域内有定义，若,)(lim,)(lim0000Aufuxguuxx且存在),(x,00000xU当时，有.)(lim)]([lim,)(000Aufxgfuxguuxx则第六节极限存在准则两个重要极限准则1如果数列}{z}{},{n及nnyx满足下列条件：（1）从某项起，即,0Nn当0nn时，有,nnnzxy（2）.lim,limazaynnnn那么数列{nx}的极限存在，且.limaxnn准则如果（1）当)()()(g)x)(,(00xhxfxMrxUx时，或（2）,)(lim,)(lim)(0)(0AxhAxgxxxxxx那么)(lim)(0xfxxx存在，且等于A.准则Ⅰ和准则称为夹逼准则。6准则单调有界函数必有极限。第七节无穷小的比较定理1与是等价无穷小的充分必要条件是).(定理2设,~,~且.limlimlim存在，则第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理1设函数）（和x)(gxf在点0x连续，则他们的和（差）gf.积)0)((0xggfgf当及商都在点0x连续。定理2如果函数)(xfy在区间xI上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1yfx也在对应区间}),({xyIxxfyyI上单调增加（或单调减少）且连续。定理3设函数)]([xgfy有函数)(xgu与函数)(ufy复合而成，.)(00gfDxU若,)(lim00uxgxx而函数)(ufy在0uu连续，则).()(lim)]([lim000ufufxgfuuxx定理4设函数)]([xgfy是由函数)(ugu与函数)(ufy复合而成，.)(0gfDxU若函数)(xgu在0xx连续，且00)(uxg，而函数)(ufy在0uu连续，则复合函数)]([xgfy在0xx也连续。7第十节闭区间上连续函数的性质定理1（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。定理2（零点定理）设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，且)(af与异)(bf号（即0)()(bfaf），那么在开区间),(ba内至少有一点，使.0)(f定理3（介值定理）设函数)(zf在闭区间上],[ba连续，且在这区间的端点取不同的函数值Aaf)(及Bbf)(，那么，对于A与B之间的任一个数C，在开区间内至少有一点，使得Cf)()(ba推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。定理4（一致连续性定理）如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，那么它在该区间上一致连续。第二章导数与微分第一节导数的概念