高等数学第三讲一阶导数应用

一阶导数应用1、函数的极值①P82，定义：如在0x邻域内，恒有0xfxf，0xfxf，则称0xf为函数xf的一个极大（小）值。可能极值点，xf/不存在的点与0xf/的点。（驻点）驻点←极值点②判别方法P82，ⅰ、导数变号。ⅱ、0xf//，0)f(x0)f(x00例1、设xfy满足关系式0y4y2y///，且0xf,0xf0/，则xf在0x点处AA、取得极大值B、取得最小值C、在0x某邻域内单增D、在0x某邻域内单减例2、已知函数xf对一切x满足x2///e1xfx3xxf如0xf0/，0x0，则AA、0xf是xf的极小值B、0xf是xf的极大值C、00xfx、是曲线的拐点D、0xf不是xf的极值，00xfx、也不是曲线xfy的拐点例3、设函数xf在0x的某邻域内可导，且00f/，21xsin(x)flim/0x，则0f是xf的极大值。极小值极大值2、函数的最大值与最小值(1)求出ba，内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。(2)在ba，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值如是极大值则为最大值(3)如)b(f)a(f),0(0f分别为最小,最大值(4)实际问题据题意可不判别。例1、在抛物线2x4y上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为yxP，，切线方程为xXx2x4Y2即14xY2x4xX22∴三角形面积：2x0),x168x(x412x4)(x21S(x)322)x16-8(3x41(x)S22/，令32x0(x)S/（唯一）0)32(S//∴38y,32x故)3832(，为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上xf可导如00xf//则曲线xfy是凹（凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点0xf//和xf//不存在的点例1、设23x1xxf，试讨论xf的性态。4//32/x1)-6(x(x)f,x2)(x1)-(x(x)f1x,0(x)f-2,x1,x0(x)f///x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+∞)y’+0-间断+0+y’’----0+y单调增上凸极大值4272f单减上凸单增上凸拐点(1,0)单增下凸渐近线如af(x)limx则称ay为水平渐近线如f(x)lim0xx则称0xx为垂直渐近线例2、求2)1x(1x2y渐近线（斜渐近线不讨论）解：∵0)1x(1x2lim2x∴0y为水平渐近线∵21x)1x(1x2lim∴1x垂直渐近线例4、曲线)2x)(1x(xxy的渐近线有4条4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当ba0，试证：aabablnbab即a1abalnblnb1证：设xlny，在]b,a[连续，)b,a(可导，由拉格朗日中值定理∵)ab(1alnbln，即ba1abalnbln∴a1abalnblnb1例2、设0x，证明x)x1ln(x1x证：设)x1ln(x)x(fx1xx111)x(f/)x(f单增，当0x0)0(f)x(f∴)x1ln(x设x1x)x1ln()x(f0)x1(x2)x1(1x11)x(f22/)x(f单增，当0x0)0(f)x(f∴x1x)x1ln(例3、当0x证明xln1x2证：令)0x(xln1x)x(f2x1x2)x(f2/0)x(f/21x驻点唯一，∵0x1x)x(f2//∴)21(f极小∴)21(f为最小值即02ln212321f)x(f0x例4、P91，习题22当1x01p证明1x1x2ppp1证:设ppx1xxf1x01p1p/x1ppxxf令0xf/,21x驻点唯一11f0f,p11p22121f当1p,1p211→xf在1,0上最大值为1,最小值为p12∴11x22ppp1例5、设e，证明证明：即证lnln设xxlnxfex，0xxln1xf2/ex时∴xf单减当lnln即例6、设xf在c,0上可导，且xf/单调减，00f证明：bfafbaf，baba0证：令afxfaxfxFxfaxfxF///∵xf/单调减0a，xax，xfaxf//∴0aF/，即xF单调减b,0fx　，00FbF即bfafbaf