高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：0yQyQxPdxdy通解CdxxPyQdy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：02211dyyNxMdxyNxM通解CdyyNyNdxxMxM12210,012yNxM2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程xyfdxdy令uxy，则ufdxduxudxdycxcxdxuufdu||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程0yxPdxdy它也是变量可分离方程，通解dxxPCey，（c为任意常数）2．一阶线性非齐次方程xQyxPdxdy用常数变易法可求出通解公式令dxxPexCy代入方程求出xC则得CdxexQeydxxPdxxP3．伯努利方程1,0yxQyxPdxdy令1yz把原方程化为xQzxPdxdz11再按照一阶线性非齐次方程求解。4．方程：xyPyQdxdy1可化为yQxyPdydx以y为自变量，x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式xfyn通解nnnnnnCxCxCxCdxxfy12211次yxfy,令py，则py，原方程pxfp,——一阶方程，设其解为1,Cxgp，即1,Cxgy，则原方程的通解为21,CdxCxgy。yyfy,令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydydpdxdpy把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1—一阶方程，设其解为,,1Cygp即1,Cygdxdy，则原方程的通解为21,CxCygdy。四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程0yxqyxpy（1）二阶非齐次线性方程xfyxqyxpy（2）1．若xy1，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合xyCxyC2211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（为常数），也即xy1与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy22112．若xy1，xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则xyxy21为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3．若xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则xyxy为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xyCxyC2211为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非齐次线性方程的通解。5．设xy1与xy2分别是xfyxqyxpy1与xfyxqyxpy2的特解，则xyxy21是xfxfyxqyxpy21的特解。五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1．二阶常系数齐次线性方程0qyypy其中p，q为常数，特征方程02qp特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根1，2则方程的通解为xxeCeCy2121（2）特征方程有二重根21则方程的通解为xexCCy121（3）特征方程有共轭复根i，则方程的通解为xCxCeyxsincos212．n阶常系数齐次线性方程012211ypypypypynnnnn其中nipi,,2,1为常数。相应的特征方程012211nnnnnpppp特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有n个不同的实根n,,,21则方程通解xnxxneCeCeCy2121（2）若0为特征方程的k重实根nk则方程通解中含有y=xkkexCxCC0121（3）若i为特征方程的k重共轭复根nk2，则方程通解中含有xxDxDDxxCxCCekkkkxsincos121121由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。六、二阶常系数非齐次线性方程方程：xfqyypy其中qp,为常数通解：xyCxyCyy2211其中xyCxyC2211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？1．xnexPxf其中xPn为n次多项式，为实常数，（1）若不是特征根，则令xnexRy（2）若是特征方程单根，则令xnexxRy（3）若是特征方程的重根，则令xnexRxy22．xexPxfxnsin或xexPxfxncos其中xPn为n次多项式，,皆为实常数（1）若i不是特征根，则令xxTxxReynnxsincos（2）若i是特征根，则令xxTxxRxeynnxsincos例题：一、齐次方程1.求dxdyxydxdyxy22的通解2.011dyyxedxeyxyx二、一阶线形微分方程1..1)0(,0)(ydyxyydx2.求微分方程4yxydxdy的通解三、伯努力方程63'yxyxy四、可降阶的高价微分方程1.求)1ln()1(xyyx的通解2.1)0(',2)0()'(''22yyyyy，五、二阶常系数齐次线形微分方程1.0'''2'''2)4()5(yyyyyy2.06'10''5)4(yyyy，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(yyyy六、二阶常系数非齐次线形微分方程1.求xeyyy232的通解2.求方程xyyycos222的通解3.xxxyycos22sin3''七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程2322)1(1)(ydxdyxxy的通解2.0)2(0)sin()1(yyxyx，3.21222sin22sin'1xeyxyyx4.0)cos1(cossinln'yxyyxxy八、综合题1.设f（x）＝xxsin－xdttftx0)()(，其中f（x）连续，求f（x）2.已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.3.设在，其中)()(),()()(xgxfxgxfxF),(内满足以下条件xexgxffxfxgxgxf2)()(,0)0(),()(),()(且（1）求)(xF所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出)(xF的表达式4.设函数y＝y（x）在,内具有二阶导数，且yxxy,0是y＝y（x）的反函数.（1）试将x＝x（y）所满足的微分方程0sin322dydxxydyxd变换为y＝y（x）满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，230y的解.5.设(x)是以2为周期的连续函数，0)(20,(0)(x),(x)（1）求微分方程cosx(x)eysinxdxdy的通解以上这些解中，有没有以2为周期的解？若有，求出，若无，说明理由6.已知曲线y＝f(x)（x0）是微分方程2y//+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y＝f(x)到x轴的最大距离。（2）计算0)(dxxf九、微分方程的几何和物理应用1.设函数)0)((xxy二阶可导，且,1)0(,0)(yxf过曲线)(xyy上任意一点),(yxP作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为,1S区间x,0上以)(xyy为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设212SS恒为1，求此曲线)(xyy的方程。2.设曲线L的极坐标方程为)(rr，),(rM为L任一点，)0,2(0M为L上一定点，若极径0OM，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上0MM两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。3.有一在原点处与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。设曲线在原点与P点之间的弧长为S1，曲线在P点处的切线在P点与切线跟y轴的交点之间的长度为S2，且2123SS=xx)1(2，求该曲线的方程。4.设函数f（x）在,1上连续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝t（t1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V（t）＝132ftft，试求y＝f（x）所满足的微分方程，并求922xy的解.5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数0K，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r的雪堆开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时。6.有一房间容积为1003m，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为103m/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？7.有一容积为5003m的水池，原有1003m的清水，现在每分钟放进23m浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出13m溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。8.某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为6V，流入湖泊内不含污染物A的污水量为6V，流出湖泊的水量为3V，已知1999年底中湖中A的含量为05m，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的浓度不超过Vm0，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量才可降至0m以内。（设湖水中A的浓度是均匀的）。9.已知某车间的容积为30×30×63m，其中的空气含0.12%的二氧化碳，现以含二氧化碳0.04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车间空气中二氧化碳的含量不超过0.06%，（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((yyx绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与)(y之间的关系式；(2)求曲线)(yx的方程.