高等数学第九节函数的连续性与间断点

第九节函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性.本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究.例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量.但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数.19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★函数的连续性★例1★例2★左右连续★例3★例4★例5★例6★连续函数与连续区间★例7★函数的间断点★例8★例9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★内容小结★课堂练习★习题1-9★返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1函数)(xf在0x处连续的充要条件是函数)(xf在0x处既左连续又右连续.三、连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点跳跃间断点可去间断点；第二类间断点无穷间断点振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数,0,0,0,1sin)(xxxxxf在0x处连续.例2（讲义例2）设)(xf是定义于[a,b]上的单调增加函数,),,(0bax如果)(lim0xfxx存在,试证明函数)(xf在点0x处连续.例3（讲义例5）讨论,0,2,0,2)(xxxxxf在0x处的连续性.例4讨论函数1,410,10,00,2/12xxxxxxxxf在0x和1x处的连续性.左右连续例5（讲义例3）已知函数0,20,1)(2xbxxxxf在点0x处连续，求b的值.例6设,1,2,2,1,)2)(1()(4xxxxxbaxxxf为使)(xf在1x处连线，a与b应如何取值？连续函数与连续区间例7（讲义例4）证明函数xysin在区间),(内连续.例8讨论函数,0,1,0,)(xxxxxf在0x处的连续性.函数间断点及其分类例9（讲义例6）讨论函数1,11,110,2)(xxxxxxf在1x处的连续性.例10(1)（讲义例7）讨论函数0,0,/1)(xxxxxf在0x处的连续性.例10(2)（讲义例8）讨论函数xxf1sin)(在0x处的连续性.例11a取何值时，,0,,0,cos)(xxaxxxf在0x处连续.例12（讲义例9）设.2,11|1|0,110/1)(2xxxxxxxxf求)(xf的间断点，并判别出它们的类型.例13求下列函数的间断点,并判断其类型.若为可去间断点,试补交或修改定义后使其为连续点..1,001,)1(||)(22xxxxxxxf及例14（讲义例10）讨论0,0,1sin)(xexxxxfx在0x的连续性.例15讨论nxnxneexxxf1lim)(2的连续性.课堂练习1.若)(xf在连续,则)(|)(|2xfxf、在0x是否连续?又若)(|)(|2xfxf、在0x连续,)(xf在0x是否连续?2.试确定a,b的值,使,)1)(()(xaxbexfx(1)有无穷间断点0x;(2)有可去间断点1x.