高等数学级数、立体几何测试题

1级数、空间解析几何测试题一、填空题（每题3分，共15分）._____)2(!5lim.1nnnnn._____2)3(ln.20的和为级数nnn.______1)1ln(.311的收敛域为幂级数nnxnn4.以向量8,4,1,2,2,1ab为邻边所构成平行四边形的面积等于________。5.点(1,1,2)P到直线328:322xyzL的最短距离为________。二、选择题（每题3分，共15分）.)().D().C()().B()()).(A(._____,,.12abaabaaababcbabcaacba不垂直的向量为均为非零向量，则与设4.2.5.3.).(2134111222.2DCBAMzMyxzyx相互垂直，则和已知两直线4.04.044.0164.).(,44164.322222222222222yxDzyxCzyxBzyxAxoyzyxzyx坐标面上投影的方程为在曲线21113311(4)()()()()nnnnnnnnnnuAuBuCuBu要使级数收敛，只需级数绝对收敛级数收敛级数绝对收敛级数收敛2的取值有关收敛性与发散条件收敛绝对收敛常数级数aDCBAanann)()()()()0(),cos1()1(.51三、计算题（1-2题每题7分，3-9每题8分，共70分）1.判定级数21sin2nnn的敛散性。2.讨论级数111(1)2lnnnnn的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，说明理由3.求级数221(1)3nnnxn的收敛域。4.求幂级数0(21)nnnx在1x内的和函数。5.求级数210(1)(23)(21)!nnnxnn的收敛域及和函数。6.将函数243()232xfxxx展开为1x的幂级数。7.设na为单调减少的正项数列，且1(1)nnna发散，试讨论级数11[1]nnnaa的收敛性，.140923042.8上的投影直线方程在平面求直线zyxzyxzyx.1,0.).1,1,0()0,0,1(.9所围成的立体体积及两平面求由的旋转曲面为轴旋转一周所成绕线段与的直角坐标分别为与已知点zzSSzABBA3答案：级数、空间解析几何测试题一、填空题)1,1.[33ln22.20..14.1825.151717二、选择题A.4C.3B.2D.1A.5221112113311232111(4)limlim0,(1)(),1()(1)11(1),,3211.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpnnnnnnuuuuuAuunuBnuppunnpunpnp故当绝对收敛时级数必收敛，即结论正确.令则级数收敛，但级数发散不正确.令其中常数满足则收敛但级数()C发散错三、计算题1.解：由于221122(1)sin(1)122limlim2sin22nnnnnnnnnn1所以级数21sin2nnn收敛。2.解：因为112ln2nnn，而级数112nn收敛，故由比较判别法知112lnnnn收敛。所以原级数为绝对收敛。3.解：由于222211lim()lim33nnnnnnnxxuxn。令2119x，得13x，所以收敛半径3R。当13x时，对应级数22133nnnn，因为通项的极限不为零，所以发散；当13x时，对应级数22133nnnn，因为通项的极限不为零，所以发散；所以收敛域为(2,4)。44.解：0(21)nnnx=02nnnx+0nnx=012()1nnxxx=012[]1nnxxx21112()11(1)xxxxx，(1,1)x。所以和函数为21(),(1,1)(1)xsxxx。5.设21(1)()(23)(21)!nnnuxxnn，则1()lim0()nnnuxux，所以原级数的收敛半径为，其收敛域为(,)。设210(1)()(23)(21)!nnnsxxnn。当0x时，()0sx；当0x时，2230(1)()()(23)(21)!nnnfxxsxxnn，220(1)()sin(21)!nnnfxxxxn，所以00()()sinsincosxxfxfxdxxxdxxxx。因此21(sincos),0()0,0xxxxsxxx。6.24312()232221xfxxxxx，而011(1)2(1)1nnxxx，123203221(1)()(1)2131(1)nnnnxxx，所以1230()[(1)()1](1),(02)nnnnfxxx。57.因为na为单调减少的正项数列，所以limnna存在；又因为1(1)nnna发散，所以limnna0a因为11[1]nnnaa是正项级数，其部分和231121nnnaaaaaaaSaaaa根据正项级数收敛的基本定理可得11[1]nnnaa收敛。.01401173731170117373117)1(.13110)2(1)4(1)32(4)1(09)2()4()32(0)923()42(..140923042.81111zyxzyxzyxzyxzyxzyxLLLzyxzyxzyxL所求投影直线方程为的方程为得平面代回解得即的平面束方程为过直线程的交线即为投影直线方与的平面垂直且过直线找一与平面上的投影直线方程，即在求平面直线解32d)221()221()(221)1()(),,1(MAB),Q(0,0zzz11111:.91022221zzzVzzzSzzzzrzzzzzyzxzyxAB故圆截面半径交点与轴交于此截面与截面为一圆的水平面截此旋转体的轴上截距为在即解：