高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分

《高等数学》练习（下）37高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第一节对弧长的曲线积分一．选择题1．设L是连接)0,1(A，)1,0(B，)0,1(C的折线，则()Lxyds[B]（A）0（B）2（C）22（D）22．设L为椭圆13422yx，并且其周长为S，则22(3412)Lxyds=[D]（A）S（B）6S（C）12S（D）24S二．填空题1．设平面曲线L为下半圆周21xy，则曲线积分22()Lxyds2．设L是由点O(0,0)经过点A(1,0)到点B(0,1)的折线，则曲线积分()Lxyds221三．计算题1．22()nLxyds，其中L为圆周taxcos，taysin（20t）.解：原式122012202222)()(nnnadtadtyxa2．22xyLeds，其中L为圆周222ayx，直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x轴和直线xy的交点分别为A和B，于是原式22xyOAABBOeds在直线OA上dxdsy,0得1022aaxOAyxedxedse在圆周AB上令40,sin,cosayax得《高等数学》练习（下）384)()(402222aaAByxeadyxedse在直线BO上dxdsxy2,得12220222aaxBOyxedxedse所以原式2)42(aea3．2Lyds，其中L为摆线的一拱)sin(ttax，)cos1(tay（20t）.解：原式2222021(cos)()()atxydt5320221(cos)atdt325615a《高等数学》练习（下）39高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第二节对坐标的曲线积分一．选择题1．设L以)1,1(，)1,1(，)1,1(，)1,1(为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则22Lxdyydx[D]（A）1（B）2（C）4（D）02．设L是抛物线)11(2xxy,x增加的方向为正向，则Lxds和Lxdyydx[A]（A）32,0（B）0,0（C）32,85（D）0,85二．填空题1．设设L是由原点O沿2xy到点A)1,1(，则曲线积分()Lxydy612．设L是由点)1,1(A到)1,1(B的线段，则22(2)(2)Lxxydxyxydy=32.三．计算题1．设L为取正向圆周222ayx，求曲线积分2(22)(4)Lxyydxxxdy.解：将圆周写成参数形式)20(,sin,cosayax，于是原式daaaaaa}cos)cos4cos()sin()sin2sincos2{(202222322233220224aaaad{(cossinsin)(coscos)}22a2．设L是由原点O沿2xy到点A)1,1(，再由点A沿直线xy到原点的闭曲线，求arctanLydydxx解：11021OAyIdydxxxdxxarctan(arctan)《高等数学》练习（下）40210[arctanarctan]22xxxxx41)11(arctanarctan012dxdxdyxyIAO所以原式12211244II3．计算()()Lxydxyxdy，其中L是：（1）抛物线xy2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；（3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线.解：（1）原式22212{()()}yyyyydy23212()yyydy343（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为dydxyx3,23所以原式2134222{()()}yydy21104()ydy11（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为21,0,1ydxx所以21)1(211dyyI（3）过（1，2），（4，2）的直线方程为41,0,2xdyy所以227)2(412dxxI于是原式1421II《高等数学》练习（下）414．求222()2,Lyzdxyzdyxdz其中L为曲线)10(,,32ttztytx按参数增加的方向进行.解：由题意，原式14664043{()}ttttdt164032()ttdt135高等数学练习题第十章曲线积分与曲面积分系专业班姓名学号第三节格林公式及其应用一．选择题1．设曲线积分4124(4)(65)ppLxxydxxyydy与路径无关，则p[C]（A）1（B）2（C）3（D）42．已知2)()(yxydydxayx为某函数的全微分，则a[D]（A）1（B）0（C）1（D）23．设L为从)21,1(A沿曲线22xy到点)2,2(B的弧段，则曲线积分222Lxxdxdyyy=[D]（A）3（B）23（C）3（D）0二．填空题1．设L是由点)0,0(O到点)1,1(A的任意一段光滑曲线，则曲线积分Ldyyxdxyxy22)()21(342．设曲线L为圆周922yx，顺时针方向，则2(22)(4)Lxyydxxxdy18三．计算题1．3222(2cos)(12sin3)LIxyyxdxyxxydy，其中L为在抛物线22xy上从点《高等数学》练习（下）42)0,0(到)1,2(的一段弧。解：设,cos2),(23xyxyyxP,3sin21),(22yxxyyxQ因为xyxyxQyPcos262，所以曲线积分与路径无关。于是1032222200022123(,)(,)(,)(,)[](cos)(sin)Ixyyxdxyxxydy21201234()yydy242．证明(3,4)2322(1,2)(6)(63)xyydxxyxydy与路径无关并计算其积分值证明：设,6),(32yxyyxP,36),(22xyyxyxQ因为2123PQxyyyx，并且连续，所以该积分与路径无关。分别记)2,1(，)2,3(，)4,3(为CBA,,因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB线段的积分加沿BC线段的积分。即，原式32232212663xyydxxyxydy(,)(,)()()34232232663xyydxxyxydy(,)(,)()()3421283196()()xdxyydy。236《高等数学》练习（下）433．设)(uf是u的连续可微函数，且40()0fuduA，L为半圆周22xxy，起点为原点，终点为)0,2(，求22()()Lfxyxdxydy解：设22Pxyxfxy(,)(),22Qxyyfxy(,)(),因为222PQxyfxyyx()，所以该积分与路径无关。若记)0,2(),0,0(分别为AO,则原积分=OAydyxdxyxf))((2222040122fxxdxfuduA()()。(令2ux)