高等数学试题(B):所有题必须做在答题纸上,做在试卷纸上一律无效一、填空题:(每空3分共30分)1、曲线tztytx3cos,sin,2在(0,0,1)处切线的方程为_______________________。2、已知)12sin(yxeuxy,则du________________________。3、xyzu在点M)2,1,5(处沿点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数为__________。4、幂级数11212nnnxn的收敛半径为_________________________。5、把321x展开成麦克劳林(Maclaurin)级数为___________。6、设)(xf是周期为的周期函数,它在区间],0(上定义为)2(,1)20(,)(2xxxxxf,则)(xf的傅立叶级数在处收敛于______。7、微分方程2'xyxy的通解为______________。8、更换2210),(yydxyxfdy的积分次序为___________________。9、L为逆时针方向的圆周:4)3()2(22yx,则Lxdyydx______________。10、斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分:______________________________之间关系。格林(Green)公式指出了下列两类积分:______________________________________之间关系。二、(8分)已知),,2(xyyxfw,f具有二阶连续偏导数,求yxw2。三、(10分)求函数22212yxyxz在区域D:25422yx上的最大值。四、(10分)计算Ddyxyx)(22,其中D由1,0,0yxyx所围。五、(10分)计算积分dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(其中)0(22hzyxz:的下侧。六、(10分)计算积分zdS,其中是上半球面222yxaz。七、(10分)求xeyyy2103的通解。八、(6分)下列计算是否正确,若正确,请给出理由,若不正确,请改正错误,并给出正确计算结果。计算曲线积分LyxydxxdyI224,其中L为从A(-1,0)到C(0,1),再到B(1,0)的曲线,AC为直线:1xy,CB为直线:1xy,计算过程为:因为224yxyP,224yxxQ,xQyxxyyP22222)4(4,所以积分与路径无关,从而LyxydxxdyI224=AByxydxxdy224=0(其中AB为直线段:)11(0xy)。九、(6分)设)(tf连续,且0)0(f,由不等式222,0tyxhz所确定,令dxdydzyxfztF)]([)(222,求20)(limttFt。2003高等数学(下)(B)答案:一.1.0112zyx2.(dyyxxedxyyexyxy)12cos(2())12sin((3.13984.215.2323,3)2(01xxnnnn6.2127.Cxxy28.2010),(xdyyxfdx22021),(xdyyxfdx9.810.空间曲线上的第二型曲线积分与空间曲面上的第二型曲面积分,平面上第二型曲线积分和二重积分(或曲线积分和曲面积分,曲线积分和二重积分)二.xffyw21,222121211222xyfxffyffyxw=2212211)2(2xyffyxff三.设)254(212)(2222yxyxyxxF,得驻点:)4,23(,)4,23(,)3,2(,)3,2(,计算:41106)4,23()4,23(zz,50)3,2()3,2(zz,另0)0,0(z,所以zmax=41106四.I=1023102210245)31265()(dxxxxdyyxyxdxx五.设)(221hyxhz:的上侧,则1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=00dv(高斯公式),而1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=xyDdxdyyx)(=0,所以,I=0六.dxdyzzyxaIyxD222221=DDaadxdydxdyyxaayxa3222222七.xxxxeeCeCy2522171八.不正确,因为xQyxxyyP22222)4(4,要求0422yx,所以这样做是错误的。设l是从A到C'),21,0(,再到B的半椭圆周:tytxsin21,cos,则LyxydxxdyI224=lyxydxxdy224=2210dt。九.dzfzddtFth)(()(220002=dhfht022]3)([232)('lim)(lim2020httFttFtt.一.1.0112zyx2.(dyyxxedxyyexyxy)12cos(2())12sin((3.13984.215.2323,3)2(01xxnnnn6.2127.Cxxy28.2010),(xdyyxfdx22021),(xdyyxfdx9.810.空间曲线上的第二型曲线积分与空间曲面上的第二型曲面积分,平面上第二型曲线积分和二重积分(或曲线积分和曲面积分,曲线积分和二重积分)二.xffyw21,yxw22212211)2(2xyffyxff三.设)254(212)(2222yxyxyxxF,得驻点:)4,23(,)4,23(,)3,2(,)3,2(,另0)0,0(z,计算得最大值41106)4,23()4,23(zz.四.I=1023102210245)31265()(dxxxxdyyxyxdxx五.设)(221hyxhz:的上侧,则1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=00dv(高斯公式),而1)()()(dxdyyxdzdxxzdydzzy=0,I=0六.dxdyzzyxaIyxD222221Daadxdy3七.xxxxeeCeCy2522171八.不正确,因为xQyxxyyP22222)4(4,要求0422yx,所以这样做是错误的。设l是从A到C'),21,0(,再到B的半椭圆周:tytxsin21,cos,则LyxydxxdyI224=lyxydxxdy224=2210dt。九.dzfzddtFth)(()(220002=dhfht]3)([202232)('lim)(lim3020httFttFtt.