高等数学试题及答案(代数与解析几何)

大家论坛高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题（一）一、计算（20分）1）36431412272515312）axaaaaxaaaax二、证明：（20分）1）若向量组n1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。2）若向量组n1中部分向量线性相关，则向量组n1必线性相关三、（15分）已知A为n阶方阵A~为A的伴随阵，则|A|=0，A~的秩为1或0。四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n五、（15分）求基础解系032030432143214321xxxxxxxxxxxx六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的七、（10分）求证△ABC的正弦正定理CcBbAasinsinsin答案(一)一、1）-1262）1)2]()2([naxanx二、证明：1）n1线性无关，r1是其部分向量组，若存在不全为0的数rkk1使011rrkk则取021nrrkkk，则000111nrrrkk，则可知n1线性相关矛盾，所以r1必线性无关。2）已知r1是向量组中n1中的部分向量，且线性相关即rkk1不大家论坛全为0，使011rrkk，取01nrkk，于是有不全为0的001rkk，使000111nrrrkk即n1线性相关。三、证明：IAAAAAA||||||||~由于|A|=0，A的秩≤n-11）若A的秩为n-1，则A~中的各元素为A的所有n-1阶子式，必有一个子式不为0，又由于A~的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n-1）=1，由此A~的秩为1。2）若A的秩＜n-1，则A~中的所有A的n-1阶子式全为0，即A~=0，A~的秩为0。四、证明：∵对任意n级方阵A与B，有rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）又∵rank（A－I）=rank[－（A－I）]=rank（I－A）∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）=rank（I）=n≤rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）五、000021001011321131111111A取10,0142xx基础解系0011112012六、证明：设neee21是正交向量组，且不含空向量。若有nnekekek2211则0),(),(21iinneeekek且),(21inneekek0)(iiieekni10)(iieeniki1,0即nee1线性无关大家论坛七、证明：如图：caacaba)(cacaccb)(ACabbasin||cbBbccasin||Abccbsin||BaCBacCabAbcsinsinsinCcBbAasinsinsin代数与解析几何试题（二）一、计算：（20分）1）43213145400320012）nnnbbbbbbb110001000001100011000112211二、（20分）若一向量组是线性相关的充分必要条件是至少有一个向量是其余n-1个向量的线性组合。三、（10分）若S1与S2是线性空间V（F）的不同真子空间，求证至少存在一个向量，使2,1iSi四、（10分）求基础解系0686503532202463543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx五、（15分）证明：含有n个未知数的n+1方程的方程组大家论坛1121211122112222212111212111nnnnnnnnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxa有解的必要条件是行列式0111122211111nnnnnnnnnnnbaabaabaabaa但这一条件不充分，试举一反例。六、（15分）设V是n维欧氏空间0,V，求},0)(|{V的维数为n-1。七、（10分）设△ABC的三条中线的交点为O，求证：0OCOBOA答案(二)一、1）-602）1二、证明：若相关，Nwh不全为0的数nkk1使011nnkk设ki不等0，于是111111iiiiiikkkkiiiiiiikkkkk11111若有一个向量表示其余之向量n-1个向量的组合nniiiikkkk111111有nniiiiikkkk11111三、证明：设12222111,,,SSSS，则21，则21,SS否则1S有112S矛盾，若2S有221SS矛盾。四、解：大家论坛000004547431041434901686513532224613A100,010,001543xxx1004541,0104743,0014349321五、解：若有解：则把系数阵各列看作列向量有：1111)(nnnbbxx，即n1线性相关，于是有D=0，反之不成立222212yxyxyx有0212212112但无解。六、证明：非空间且221,有（2211kk）000)()(221kk是子空间。把扩充为V的一组基n21，把这组基正交化，neee211,有ie，niei2，即的维数为n-1七、证明：如图A已知O是△ABC三条中线的交点，由向量加法有E)(21ACABADFOC)(21BCBABFBD)(21CBCACF又CFOCBEOBADOA32,32,32AC)(32CFBEADOCOBOA大家论坛又0021)(21CBCABCBAACABCFBEAP0OCOBOA代数与解析几何试题（三）一、计算：（20分）1）32142143143243212）0101011110xxxxxx二、（10分）若一个不含零向量的向量组成线性相关，则至少有两个向量是其余向量的线性组合。三、（20分）若mSSS21是线性空间V（F）的真子空间，求证到存在一个向量，使)1(miSii四、（15分）求证：1）A2=A，求证：P=2A－I为对合阵2）A为2n+1阶方阵，且A′=－A，求证|A|=0五、（10分）求基础解系0222200432143214321xxxxxxxxxxxx六、（10分）若A为n阶方阵，若对任意的一列矩阵X，均有AX=0，求证A为零阵七、（15分）设nee1是n维欧氏空间V的标准正交基，k1是V中k个向量，若k1两两正交，则必有0))((1sjsnsieejikji,1,答案(三)一、1）1602）21)1()1(nnxn二、证明：n1线性相关，且不含0向量，则有一组不全为0的数nkk1使nnkk11，因为至少有一个0ik有nniikkk11大家论坛121若其余的n一个系数ijkk全为0，则i矛盾，故必有至少有一个jikj,0于是njnjjkkkk11即至少有两个向量是其余向量的线性结合。三、证明：用归纳法，当2n命题成立（由习题4）解设为：kn的命题，当1kn时，由归纳假定存在)1(kiSi若1kS则命题成立。若1kS，则由1kS为真子空间，有1kS，此时有k，使Srk，否则1kSrk，则1kSk同时，对不同的21,kk不含有1k与2k同属于一个)1(kiSi反之，若iiSkSk21,有iSkk)(21中的所有)1(kiki，于是这样的k，有)11(kiSkiAA2四、证明：1）IIAAIAIAP44)2)(2(22P为对合阵2）A为2n+1阶方阵，且AA有AAAAn12)1(又AA即0,AAA五、解：00001010101222211111111A令10,0143xx有010111010,2六、证明：∵A对任意一列矩阵X均有AX=0，取00010,00121nXXX于是，0],[21AIXXXAn，则A=0大家论坛七、设nee1是n维欧氏空间V的标准正交基k1是V中k个向量，若k1两两正交，则必有0))((1sjsnsieejkji1,12,证明：niniiekek11njnjjekek11又issike)(jssjke)(又ji两两正交，ji，有0)(11ssnnjnnsijijiikkkkkk于是))((11sjsnsee0)(1ijsnsiskk